Презентация к уроку по алгебре на тему: Презентация к практическому занятию по математике на тему: Вычисление пределов функции. Предел функции на. Два замечательных предела. Вычисление числа «е». Презентация "предел функции" Презентация предел функции на

Слайд 2

Титульная страница Оглавление Вступление Предел переменной величины Основные свойства пределов Предел функции в точке Понятие о непрерывности функции Предел функции на бесконечности Замечательные пределы Заключение

Слайд 3

Предел переменной величины

Предел – одно из основных понятий математического анализа. Понятие предела использовалось еще Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

Слайд 4

1. Предел переменной величины

Пусть переменная величина x в процессе своего изменения неограниченно приближается к числу 5, принимая при этом следующие значения: 4,9; 4,99;4,999;…или 5,1; 5,01; 5,001;… В этих случаях модуль разности стремится к нулю: = 0,1; 0,01; 0,001;… Число 5 в приведенном примере называют пределом переменной величины x и пишут lim x = 5. Определение 1. Постоянная величина a называется пределом переменной x, если модуль разности при изменении x становится и остается меньше любого как угодно малого положительного числа e.

Слайд 5

2. Основные свойства пределов

1. Предел алгебраической суммы конченного числа переменных величин равен алгебраической сумме пределов слагаемых: lim(x + y + … + t) = lim x + lim y + … + lim t. 2. Предел произведения конечного числа переменных величин равен произведению их пределов: lim(x·y…t) = lim x · lim y…lim t. 3. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: lim(cx) = lim c · lim x = c lim x. Например, lim(5x + 3) = lim 5x + lim 3 = 5 lim x + 3. 4. Предел отношения двух переменных величин равен отношению пределов, если предел знаменателя не равен нулю: lim = lim y 5. Предел целой положительной степени переменной величины равен той же степени предела этой же переменной: lim = (lim x)n Например: = = x3 + 3 x2 = (-2)2 + 3·(-2)2 = -8 + 12 = 4 6. Если переменные x, y, z удовлетворяют неравенствам x и xzy

Слайд 6

3.Предел функции в точке

Определение 2. Число b называется пределом* функции в точке a, если для всех значений x, достаточно близких к a и отличных от a, значения функции сколь угодно мало отличаются от числа b. 1.Найти: (3x2 – 2x). Решение. Используя последовательно свойства 1,3 и 5 предела, получим (3x2 – 2x) = (3x2) - (2x) = 3x2 - 2x = 3 - 2x = 3 22 - 2·2 = 8

Слайд 7

4. Понятие о непрерывности функции

2. Вычислить Решение. При x = 1 дробь определена, так как ее знаменатель отличен от нуля. Поэтому для вычисления предела достаточно заменить аргумент его предельным значением. Тогда получим Указанное правило вычисления пределов нельзя применять в следующих случаях: 1)Если функция при x = a не определена; 2)Если знаменатель дроби при подстановке x = a оказывается равным нулю; 3)Если числитель и знаменатель дроби при подстановке x = a одновременно оказывается равным нулю или бесконечности. В таких случаях пределы функций находят с помощью различных искусственных приемов.

Слайд 8

5. Предел функции на бесконечности

3.Найти Решение. При x знаменатель х + 5 также стремится к бесконечности, а обратная ему величина 0. Следовательно, произведение · 3 = стремится к нулю, если x . Итак, = 0

Слайд 9

6. Замечательные пределы

Некоторые пределы невозможно найти теми способами, которые были изложены выше. Пусть например, требуется найти. Непосредственная подстановка вместо аргумента его предела дает неопределенность вида 0/0. Невозможно также преобразовать числитель и знаменатель таким образом, чтобы выделить общий множитель, предел которого равен нулю. Поступим следующим образом. Возьмем круг с радиусом, равным 1, и построим центральный угол АОВ, равный 2х радианам. Проведем хорду АВ и касательные АD и ВD к окружности в точках А и В. Очевидно, что |AC| = |CB| = sin x, |AD| = |DB| = tgх = 1 – Первый замечательный предел. x = e 2,7182…,. x – Второй замечательный предел. Решение. Разделив числитель и знаменатель на x,получим x = ()x = = =

Слайд 10

7. Вычисления пределов

1. (x2 – 7x + 4) = 32 – 7·3 + 4 = - 8. Решение. Для нахождения предела непосредственного нахождения заменим пределы функции в точке. 2. . Решение. Здесь пределы числителя и знаменателя при x равным нулю. Умножим числитель и знаменатель на выражение,сопряженное числителю, получим = = = = Следовательно, = = = =

Слайд 11

Заключение

В данном проекте рассматривался наряду с теоретическим материалом и практический. В практическом применении рассмотрели всевозможные способы вычисления пределов. Изучение второго раздела высшей математики уже вызывает большой интерес, так как в прошлом году рассматривали тему «Матрицы. Применение свойств матрицы к решению систем уравнений», которая была простой, хотя бы по той причине, что получаемый результат был контролируемым. Здесь такого контроля нет. Изучение Разделов высшей математики дает свой положительный результат. Занятия по данному курсу принесли свои результаты: - изучен большой объем теоретического и практического материала; - выработано умение выбирать способ вычисления предела; - отработано грамотное использование каждого способа вычисления; - закреплено умение проектировать алгоритм задания. Мы будем продолжать изучение разделов высшей математики. Цель ее изучения состоит в том, что мы будем хорошо готовы к повторному изучению курса высшей математики.

Посмотреть все слайды

Предел функции в точке Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0, кроме, быть может самой точки x 0. Число А называют пределом функции в точке x 0 (или при), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ, что для всех х из δ – окрестности точки x 0 справедливо неравенство:

Односторонние пределы В определении предела функции Бывают случаи, когда способ приближения аргумента x к x 0 существенно влияет на значение предела, поэтому вводят понятия односторонних пределов. предполагается, что x стремится к x 0 любым способом: оставаясь меньше, чем x 0 (слева от x 0), большим, чем x 0 (справа от x 0), или колеблясь около точки x 0. Число А 1 называют пределом функции слева в точке x 0, если для любого ε > 0 найдется такое δ >0, что для всех справедливо неравенство: Предел слева записывают так: 0 найдется такое δ >0, что для всех справедливо неравенство: Предел слева записывают так:">

Односторонние пределы Число А 2 называют пределом функции справа в точке x 0, если Предел справа записывают так: y 0 х А1А1 х0х0 А2А2 Пределы функции слева и справа называют односторонними пределами. Очевидно, если существует то существуют и оба односторонних предела, причем А = А 1 = А 2 y 0 х А 1 =А 2 =А х0х0

M или при x M или при x 6 Предел функции при x стремящемся к бесконечности Пусть функция y = f(x) определена в промежутке. Число А называют пределом функции при, если Геометрический смысл этого определения таков: существует такое число М, что при х > M или при x M или при x M или при x M или при x M или при x title="Предел функции при x стремящемся к бесконечности Пусть функция y = f(x) определена в промежутке. Число А называют пределом функции при, если Геометрический смысл этого определения таков: существует такое число М, что при х > M или при x

Основные теоремы о пределах Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функций. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) пределов: Формулировка теорем, когда или аналогичны, поэтому будем пользоваться обозначением:. Предел произведения двух функций равен произведению пределов: Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

X 0, то существует соответственно ее левый предел: или ее правы" title="Основные теоремы о пределах Если между соответствующими значениями трех функций при этом: тогда: выполняются неравенства: Если функция f(x) монотонна и ограничена при x x 0, то существует соответственно ее левый предел: или ее правы" class="link_thumb"> 9 Основные теоремы о пределах Если между соответствующими значениями трех функций при этом: тогда: выполняются неравенства: Если функция f(x) монотонна и ограничена при x x 0, то существует соответственно ее левый предел: или ее правый предел: x 0, то существует соответственно ее левый предел: или ее правы"> x 0, то существует соответственно ее левый предел: или ее правый предел:"> x 0, то существует соответственно ее левый предел: или ее правы" title="Основные теоремы о пределах Если между соответствующими значениями трех функций при этом: тогда: выполняются неравенства: Если функция f(x) монотонна и ограничена при x x 0, то существует соответственно ее левый предел: или ее правы"> title="Основные теоремы о пределах Если между соответствующими значениями трех функций при этом: тогда: выполняются неравенства: Если функция f(x) монотонна и ограничена при x x 0, то существует соответственно ее левый предел: или ее правы">

Вычисление пределов Вычисление предела: начинают с подстановки предельного значения x 0 в функцию f(x). Если при этом получается конечное число, то предел равен этому числу. Если при подстановки предельного значения x 0 в функцию f(x) получаются выражения вида: то предел будет равен:

Раскрытие неопределенностей Раскрытие неопределенности Если f(x) – дробно – рациональная функция, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель дроби Если f(x) – иррациональная дробь, необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю.

15 Первый замечательный предел Функция не определена при x = 0. Найдем предел этой функции при О АВ С М Обозначим: S 1 - площадь треугольника OMA, S 2 - площадь сектора OMА, S 3 - площадь треугольника OСА, Из рисунка видно, что S 1

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Вычисление пределов функции. Предел функции на бесконечности. Два замечательных предела. Вычисление числа «е». (практическое занятие)

Цель занятия: Повторить, обобщить и систематизировать знания по теме «Вычисление пределов функции» и отработать их применение на практике

Ход урока: 1. Организационный момент 2. Проверка домашнего задания 3. Повторение опорных знаний 4. Изучение нового материала 5. Актуализация знаний 6. Домашнее задание 7. Итоги урока. Рефлексия

Проверка домашнего задания Вычислите пределы: 1 вариант 2 вариант 1) 1) 2) 2) 3) 3)

Проверка домашнего задания Ответы: 1) -1,2; 0,4; -√5 2) 25, 4/3, 1/5√2

Повторение опорных знаний Что называют пределом функции в точке? Записать определение непрерывности функции. Сформулируйте основные теоремы о пределах. Какие способы вычисления пределов вы знаете?

Повторение опорных знаний Определение предела. Число b – предел функции f(x) при x стремящемся к a , если для каждого положительного числа e можно указать такое положительной число d, что для всех x , отличных от a и удовлетворяющих неравенству | x-a |

Повторение опорных знаний Основные теоремы о пределах: ТЕОРЕМА 1 . Предел суммы двух функций при x стремящемся к a равен сумме пределов этих функций, то есть ТЕОРЕМА 2 . Предел произведения двух функций при x стремящемся к a равен произведению пределов этих функций, то есть ТЕОРЕМА 3 . Предел частного двух функций при x стремящемся к a равен частному пределов, если предел знаменателя отличен от нуля, то есть и равен плюс (минус) бесконечности, если предел знаменателя 0 , а предел числителя конечен и отличен от нуля.

Повторение опорных знаний Способы вычисления пределов: Непосредственной подстановкой Разложение числителя и знаменателя на множители и сокращение дроби Домножение на сопряженные с целью избавления от иррациональности

Изучение нового материала Предел на бесконечности: Число А называется пределом функции y=f(x) на бесконечности (или при х, стремящимся к бесконечности), если для всех достаточно больших по модулю значений аргумента х соответствующие значения функции f(x) сколь угодно мало отличаются от числа А.

Изучение нового материала Разделим числитель и знаменатель дроби н старшую степень переменной:

Изучение нового материала Первый замечательный предел Второй замечательный предел равен

Изучение нового материала Использование замечательных пределов Первый замечательный предел: Второй замечательный предел:

Изучение нового материала

Актуализация знаний

Задание на дом Вычислите пределы: Задание на дом

Сегодня я узнал … Было трудно … Было интересно … Я понял, что… Теперь я могу … Я попробую … Я научился … Меня заинтересовало … Меня удивило … Рефлексия

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Методические рекомедации по организации и проведению практического занятия по математике. Тема: Вычисление пределов функций с использованием первого и второго замечательных пределов.

Занимательная математика Алгебра и начала математического анализа, 10 класс.

Урок на тему:

Что будем изучать:

Что такое Бесконечность?

Свойства.

Предел функции на бесконечности.

Ребята, давайте посмотрим, что такое предел функции на бесконечности?

А, что такое бесконечность?

Бесконечность - используется для характеристики безграничных, беспредельных, неисчерпаемых предметов и явлений, в нашем случае характекстика чисел.

Бесконечность –сколь угодно большое(малое), безграничное число.

Если рассмотреть координатную плоскость то ось абсцисс(ординат) уходит на бесконечнсть, если ее безгранично продолжать влево или вправо(вних или вверх).

Предел функции на бесконечности

Предел функции на бесконечности. Теперь давайте перейдем к пределу функции на бесконечности: Пусть у нас есть функция y=f(x), область определения нашей функции содержит луч , и пусть прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), запишем все это на математическом языке:

предел функции y=f(x) при x стремящимся к минус бесконечности равен b

Предел функции на минус бесконечности.

Предел функции на бесконечности. Так же наши соотношения могут выполняться одновременно:

Предел функции на бесконечности.

Тогда принято записывать как:

предел функции y=f(x) при x стремящимся к бесконечности равен b

Предел функции на бесконечности.

Пример. Построить график функции y=f(x), такой что:

• Область определения – множество действительных чисел.
• f(x)- непрерывная функция

Решение:

Нам надо построить непрерывную функцию на (-∞; +∞). Покажем пару примеров нашей функции.

Предел функции на бесконечности.

Для вычисления предела на бесконечности пользуются несколькими утверждениями:

1) Для любого натурально числа m справедливо следующее соотношение:

2) Если

а) Предел суммы равен сумме пределов:

б) Предел произведения равен произведению пределов:

в) Предел частного равен частному пределов:

г) Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Основные свойства.

Предел функции на бесконечности.

Пример. Найти

Решение.

Разделим числитель и знаменатель дроби на x.

Ребята, вспомните предел числовой последовательности.

Воспользуемся свойством предел частного равен частному пределов:

Получим:

Ответ:

Предел функции на бесконечности.

Решение.

Предел числителя равен: 5-0=5; Предел знаменателя равен: 10+0=10

Предел функции на бесконечности.

Пример. Найти предел функции y=f(x), при x стремящимся к бесконечности.

Решение.

Разделим числитель и знаменатель дроби на x в третьей степени.

Воспользуемся свойствами предела на бесконечности

Предел числителя равен: 0; Предел знаменателя равен: 8

Предел функции на бесконечности.

Задачи для самостоятельного решения.

• Построить график непрерывной функции y=f(x). Такой что предел при x стремящимся к плюс бесконечности равен 7, а при x стремящимся к минус бесконечности 3.
• Построить график непрерывной функции y=f(x). Такой что предел при x стремящимся к плюс бесконечности равен 5 и функция возрастает.
• Найти пределы:
• Найти пределы: