Презентация к уроку геометрии "теорема пифагора". И таким простым путем

«Геометрия владеет

двумя сокровищами:

одно из них – это

теорема Пифагора»

Иоганн Кеплер

Историческая справка

Пифагор – древнегреческий ученый, живший в VI веке до нашей эры.

Вообще надо заметить, что о жизни и деятельности Пифагора, который умер две с половиной тысячи лет тому назад, нет достоверных сведений. Биографию учёного и его труды приходится реконструировать по произведениям других античных авторов, а они часто противоречат друг другу.

С именем Пифагора связано много важных научных открытий: в географии и астрономии – представление о том, что Земля – шар и что существуют другие, похожие на неё миры; в музыке – зависимость между длиной струны арфы и звуком, который она издаёт; в геометрии – построение правильных многоугольников (один из них пятиконечная звезда – стал символом пифагорейцев).

Венчала геометрию теорема Пифагора , которой посвящён сегодняшний урок.

Но изучение вавилонских клинописных таблиц и древних китайских рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до Пифагора. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы.

Опорное повторение по готовым чертежам

Какой треугольник изображён?

(Определите его вид)

Назовите катеты и гипотенузу данного треугольника.
Как найти площадь

Δ АВС?

На какие два многоугольника разбит данный многоугольник ABCDE?
Каким свойством площадей необходимо воспользоваться, чтобы найти площадь многоугольника ABCDE?
С помощью каких формул можно найти площадь квадрата ABCF и площадь треугольника DFE?
Запишите формулой площадь многоугольника ABCDE.

Практическая работа

2 ; b 2 ; c 2 . Сложите квадраты катетов (a 2 + b 2 У всех ли получилось, что a 2 + b 2 = с 2 ?
Постройте в тетрадях прямоугольный треугольник (с катетами, длина которых для удобства выражается целыми числами).
Измерьте катеты и гипотенузу. Результаты измерений запишите в тетрадях.
Возведите все результаты в квадрат, т. е. Узнайте величины a 2 ; b 2 ; c 2 .
Сложите квадраты катетов (a 2 + b 2 ) и сравните с квадратом гипотенузы.
У всех ли получилось, что a 2 + b 2 = с 2 ?

Современная формулировка

теоремы Пифагора

«В прямоугольном

треугольнике квадрат

гипотенузы равен

сумме квадратов катетов ».

Во времена Пифагора формулировка теоремы звучала так:

«Квадрат, построенный на гипотенузе прямо-угольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах ».

Теорема Пифагора

5 = 4 + 3

25=16+9

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Дано:

Найти: ВС

6 см

8 см

Дано:

Найти: ВС

5 см

7 см

13 см

Дано:

Найти:

12 см

« Пифагоровы штаны во все стороны равны. Чтобы это доказать, нужно снять и показать», -так поется в одной шутливой песенке. Эти « штаны » показаны на рисунке, где на каждой стороне прямоугольного треугольника АВС во внешнюю сторону построены квадраты. А сам рисунок появился в знаменитой первой книге трактата Евклида «Начала»и был положен ее автором в основу доказательства теоремы Пифагора.

В англоязычных странах ее называют ветряной мельницей, павлиньим хвостом и креслом невесты .

Шаржи к теореме Пифагора (из учебников XVI века)

Изучение свойств натуральных чисел привело пифагорейцев к ещё одной «вечной» проблеме теоретической арифметики (теории чисел) - проблеме, ростки которой пробивались задолго до Пифагора в Древнем Египте и Древнем Вавилоне, а общее решение не найдено и поныне. Начнем с задачи, которую в современных терминах можно сформулировать так: решить в натуральных числах неопределенное уравнение

а 2 +b 2 =c 2 .

Сегодня эта задача именуется задачей Пифагора, а её решения - тройки натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению (а 2 +b 2 =c 2 )- называются пифагоровыми тройками. В силу очевидной связи теоремы Пифагора с задачей Пифагора последней можно дать геометрическую формулировку: найти все прямоугольные треугольники с целочисленными катетами а, b и целочисленной гипотенузой c .

Пифагоровы числа обладают рядом интересных особенностей, которые мы перечислим без доказательств:

Один из «катетов» должен быть кратным трём.
Один из «катетов» должен быть кратным четырём.
Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти.

Эти тройки можно найти по формулам: b=(a 2 -1)/2, c=(a 2 +1)/2.

Найдите неизвестные стороны треугольников.

из 9

Землемеры и строители Древнего Египта размечали прямые углы с помощью веревки, разделенной узлами на 12 равных кусков.

Посмотри!

Построение отрезка, длина которого есть иррациональное число. Улитка Архимеда.

«Смотри чертёж».

Догадайтесь сами, как построены отрезки с такими длинами.

Диагональ d квадрата со стороной а можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а. Таким образом:

d 2 =2a², d= a.

Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b вычисляется подобно тому, как вычисляется гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b. Мы имеем d²=a²+b² .

В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны

1.ширине окна (b) для наружных дуг

2. половине ширины, (b/2) для внутренних дуг

Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра.

В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоваться вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.

В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b/2 и r= b/4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4 + p, один катет равен b/4, а другой b/2 - p. По теореме Пифагора имеем:

(b/4 + p) ² = (b/4) ² + (b/2 - p) ²

или b ² /16 + bp/2 + p ² = b ² /16 +b ² /4 - bp + p ² ,

bp/2 = b ² /4 - bp.

Разделив на b и приводя подобные члены, получим:

(3/2)p = b/4, p = b/6

В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку, это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли (открыл на Марсе каналы которые долгое время считались исскуственными) и др.

Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора.

Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

НАЗАД

И. Дырченко

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим -

И таким простым путем

К результату мы придем.

О теореме Пифагора

Пребудет вечной истина, как скоро Все познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далекий век. Обильно было жертвоприношенье Богам от Пифагора. Сто быков Он отдал на закланье и сожженье За света луч, пришедший с облаков. Поэтому всегда с тех самых пор, Чуть истина рождается на свет, Быки ревут, ее почуя, вслед. Они не в силах свету помешать, А могут лишь закрыв глаза дрожать От страха, что вселил в них Пифагор.

A. Шамиссо

Над озером тихим

С полфута размером

Высился лотоса цвет.

Он рос одиноко,

И ветер порывом

Отнёс его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашёл же рыбак его

Ранней весною

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

“ Как озера вода здесь глубока?”

Какова глубина в современных единицах длины (1 фут приближённо равен 0,3 м) ?

Решение.

Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда AD = AB = Х + 0,5 .

Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB 2 – AC 2 = BC 2 ,

(Х + 0,5) 2 – Х 2 = 2 2 ,

Х 2 + Х + 0,25 – Х 2 = 4,

Х = 3,75.

Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута.

3, 75 0,3 = 1,125 (м)

Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м.

Решение.

Пусть CD – высота ствола.

BD = АВ

По теореме Пифагора имеем АВ = 5 .

CD = CB + BD,

CD = 3 + 5 =8.

Ответ: 8 футов.

Задача Бхаскары

Решение

Итак, в треугольнике АDВ: АВ 2 =ВD 2 +АD 2

АВ 2 =30 2 +Х 2

АВ 2 =900+Х 2 ;

в треугольнике АЕС: АС 2 = СЕ 2 +АЕ 2

АС 2 =20 2 +(50 – Х) 2

АС 2 =400+2500 – 100Х+Х 2

АС 2 =2900 – 100Х+Х 2 .

Но АВ=АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния за одинаковое время.

Поэтому АВ 2 =АС 2 ,

900+Х 2 =2900 – 100Х+Х 2 ,

100Х=2000,

"Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать."

"Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его.

Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша? "

1 Пифагор родился на острове:

в)Мадагаскар

а).Родос б)Крит в)Мадагаскар г)Самос

3. Выберите верное равенство для данного треугольника:

а)a 2 + c 2 = b 2

б)a 2 + b 2 = c

в)b 2 + c 2 = a 2

г)a 2 + b 2 = c 2

2. Теорема Пифагора гласит:

a)В треугольнике квадрат гипотенузы равен квадрату катетов.

б)В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.

в)В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

г)В прямоугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

a)В треугольнике квадрат гипотенузы равен квадрату катетов. б)В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов. в)В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. г)В прямоугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

4. Выберите тройку пифагоровых чисел:

а)2, 3 и 5 б)4, 5 и 8 в)5, 12 и 13 г)9, 11 и 14

Статуя формой своей хороша, А человека украсят дела.

Шуткой беседу укрась, освети. Шутка, что соль. Лишь не пересоли…

Лучше молчи, ну, а коль говоришь, Пусть будет лучше, чем то, что молчишь.

Если ты в гневе, не смей говорить! Действовать резко и злобу сорить.

Пред тем, как станешь говорить, пусть мысль созреет Под языком твоим. Созревшая - все смеет.

Память.

Памятник Пифагору находится в порту города Пифагория и напоминает всем о теореме Пифагора, наиболее известном его открытии. Катет, лежащий в основании треугольника - мраморный, гипотенуза и фигура самого Пифагора в виде второго катета - медные.

Теорема Пифагора c 2 = a 2 + b 2 В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. равен сумме квадратов катетов. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах. равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

Доказательства теоремы: На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии. Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например с помощью дифференциальных уравнений).

Пифагоровы штаны. Пифагоровы штаны(школьн., устар.) – шуточное название теоремы Пифагора, возникшее в силу того, что раньше в школьных учебниках эта теорема доказывалась через доказательство равенства суммы площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, площади квадрата, построенного на гипотенузе этого треугольника. Построенные на сторонах треугольника и расходящиеся в разные стороны квадраты напоминали школьникам покрой мужских штанов, что породило следующее стихотворение: «Пифагоровы штаны – на все стороны равны».

Теорема, обратная теореме Пифагора. Этим пользовались землемеры и строители Древнего Египта: они размечали прямые углы с помощью веревки, разделенной узлами на 12 равных кусков. Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 называется «египетским», а тройки (a, b, c) натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению c 2 = a 2 + b 2, т. е. служащие длинами сторон прямоугольных треугольников, Пифагоровыми. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. то треугольник прямоугольный.

Жизнь и деятельность Пифагора. О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским. Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове. Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет. Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там создать свою школу. Он поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне. Там Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей аристократии. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю. ок г.г. до н.э.

Задача индийского математика XII века Бхаскары. «На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой С теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в этом месте река В четыре лишь фута была широка Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?»

Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого. «Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, калико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстоять иметь».

Задача из китайской «Математики в девяти книгах». «Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?».

Открытия Пифагорейцев: 1. доказал теорему, которая носит сейчас его имя; 2. теорема о сумме внутренних углов треугольника; 3. построение правильных многоугольников; 4. геометрические способы решения квадратных уравнений; 5. деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел; 6. доказательство того, что не является рациональным числом; 7. создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях; 8. ввел доказательство в геометрию; 9. высказал догадку о шарообразности Земли; 10. посредством чисел пытался осмыслить: справедливость, смерть, постоянство.

Заповеди Пифагора: Делай лишь то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться. Не делай никогда того, чего не знаешь. Но научись всему, что следует знать... Не пренебрегай здоровьем своего тела… Приучайся жить просто и без роскоши Юные девицы! Помните, что лицо лишь тогда бывает прекрасным, когда оно изображает изящную душу. Помогай не тому, кто ношу сваливает, а тому, кто её взваливает. Либо молчи, либо говори то, что ценнее молчания. Юноша! Если ты желаешь себе жизни долгой, то воздержи себя от пресыщения и всякого излишества.

Итог урока Узнали много интересного о жизни Пифагора – жизни замечательной и трагической. Решили старинные задачи. И чем дальше время уносит от нас Пифагора, тем острее видится прозорливость мудреца, объявившего, что «ВСЕ ЕСТЬ ЧИСЛО». Его современное звучание: «МАТЕМАТИКА ЕСТЬ КЛЮЧ К ПОЗНАНИЮ ВСЕХ ТАЙН ПРИРОДЫ».

Литература: 1. Глейзер Г. И.- История математики в школе 7- 8 к л.- М.: Просвещение, стр. 2. Волошников А.В. Пифагор: союз истины, добра и красоты.- М.: Просвещение, Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П. Савин. – 3-е изд., испр. и доп. - М.: Педагогика–Пресс, Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика. – М., 1997.

Должность и место работы : учитель математики МКОУ СОШ №1 г. Сортавала Республики Карелия.

Пояснительная записка .

Урок посвящен одной из важнейших теорем планиметрии - теореме Пифагора. Данный урок – это урока открытия новых знаний. На уроке представлена проблемно-поисковая ситуация; рассматривается доказательство теоремы Пифагора и применение ее к решению возникшей проблемы. Учащиеся самостоятельно доказывают теорему. Урок способствует развитию познавательного интереса, навыков самостоятельного пополнения знаний. Усиление практической направленности обучения способствует прочному, неформальному усвоению материала. Урок сопровождается презентацией с исторической справкой и рядом тестовых заданий.

Урок геометрии в 8 классе.

Тема: Теорема Пифагора

Цель урока : Выработать компетенцию по применению теоремы

Пифагора при решении геометрических и практических задач.

Задачи:

1). В процессе учебной деятельности учащихся вывести формулировку и доказательство теоремы Пифагора.

2). Выработать умение учащихся составлять математическую модель реальной ситуации с использованием теоремы Пифагора.

3). Познакомить учащихся с выдающимся математиком, философом и пророком Пифагором.

Ход урока.

1 . Самоопределение к деятельности:

Учитель : Ребята, сегодня мне хотелось бы начать урок с задачи.

«Пожарные увидели на крыше горящего дома маленького котенка. Котенок жалобно пищал и звал на помощь. Но вот беда: пожарная машина не может приблизится к дому ближе, чем на 6м, высота дома – 8м. Свою лестницу пожарники могут растянуть не более, чем на 11м. Достаточно ли этого, чтобы помочь бедному котенку?»

Как правило, мнения разные: одни считают, что «да», другие – «нет»

Учитель : сформулируем задачу в общем виде:

Известны катеты прямоугольного треугольника.

Найти длину его гипотенузы

Пока мы не можем решить эту задачу, но к концу урока, применив все свои знания и способности, я надеюсь, что мы сможем помочь нашему маленькому котенку.

2. Актуализация знаний учащихся:

Вопросы классу : - Какие свойства площадей вам известны?

Площади каких фигур мы можем вычислить?

Решить задачи (устно) с целью подготовки учащихся к восприятию нового материала:

а) Известно, что α = 3β

Найти: β

б) Известно, что α + γ = β

Найти: β

в) По данному рисунку докажите, что

К MN Р - квадрат

Вопрос классу :

Какие еще задачи мы можем решить, используя данный чертеж?

(Для удобства ребят можно ввести обозначения: AK = a , AP = b , KP = c )

Наводящие вопросы :

Какие фигуры вы видите на чертеже?

Что вы можете сказать о площадях этих фигур?

Какое свойство площадей здесь можно использовать?

(Путем диалога, арифметических преобразований подвести ребят к

записи: a 2 + b 2 = c 2 ) .

Вопросы классу:

Чем являются в нашей ситуации переменные a , b , c ?

Сформулируйте фразу, закодированную в записи a 2 + b 2 = c 2 , которая связывает площади наших фигур?

Учитель : Ребята, вы не представляете, что сейчас произошло! Вы сделали величайшее открытие!!! Вы «открыли» теорему Пифагора! Итак, тема нашего урока: «Теорема Пифагора». (Предложить учащимся записать в тетрадях тему урока и ее формулировку).

2 . Изучение нового материала: с помощью компьютера рассмотреть только первые два раздела презентации («Теорема Пифагора» и «Проверь себя»).

Учитель : Теорема Пифагора – одна из главных теорем геометрии, и можно сказать, самая главная. Значение ее состоит в том, что из нее или с помощью ее можно вывести большинство теорем геометрии.

Теорема Пифагора замечательна еще и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна! Например, свойства равнобедренного треугольника можно непосредственно видеть на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: c 2 = a 2 + b 2

Зато это соотношение между площадями геометрических фигур становится очевидным из построения на рисунках.

В Древней Индии существовал способ «доказательства теоремы без слов». Слушателям представляли чертеж и писали одно слово «смотри».

Выслушав предположения ребят, сделать вывод: Мы видим два различных разбиения одного и того же квадрата со стороной a + b .

Если из площадей одинаковых квадратов убрать площади одинаковых прямоугольных треугольников, то остаются равные площади: c 2 = a 2 + b 2 .

В этом состоит самый лучший математический стиль: посредством остроумного построения сделать неочевидное очевидным.

3. Закрепление изученного материала:

Учитель: Ребята, наш котенок по-прежнему ждет вашей помощи. Давайте вернемся к нашей задаче.

Дано : ∆ АВС, ے В = 90 0

Найти : АС

Решение : Δ АВС – прямоугольный

По теореме Пифагора АС 2 =АВ 2 +ВС 2 ═>

АС 2 = 6 2 +8 2 – это математическая модель

данной ситуации.

АС 2 = 100, АС = 10

Ответ: 10 м до крыши, т.е. лестницы

вполне достаточно.

Задача №2 : Египтяне придумали задачу о лотосе: «На глубине 12 футов растет лотос с 13 футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну».

Дано: ∆ АВС, ے С = 90 0 , АВ = 13м, АС=12м

Найти: ВС

Решение : ∆ АВС – прямоугольный, т.е. по

теореме Пифагора имеем: АВ 2 =АС 2 +ВС 2

а значит ВС 2 = АВ 2 - АС 2

ВС 2 = 13 2 - 12 2 , ВС 2 = 25 ═> ВС = 5

Ответ : 5 футов.

Задача №3 : Дерево в 8м высотой переломлено бурей так, что если верхнюю часть пригнуть к земле, то верхушка коснется земли на расстоянии 4м от основания ствола. На какой высоте переломлен ствол?

Решение : И вновь при составлении математической

модели мы используем теорему Пифагора:

(8 - х) 2 = х 2 + 4 2

64 – 16х + х 2 = х 2 + 16

16х = 48 х = 3

Ответ : 3м

4. Самостоятельное решение задачи :

I уровень – Коробка конфет имеет форму равнобедренного треугольника, боковая сторона которой равна 25см, а основание – 14см. Какова высота этой коробки? (Ответ: 24см)

II уровень – Цветочная клумба имеет форму равнобедренной трапеции с основаниями10 и 18 см, и с боковой стороной равной 5см. Найти площадь клумбы. (Ответ: 42см 2 )

Учитель : - Возможно ли было решение задач данного типа без знания

теоремы Пифагора?

В чем суть теоремы Пифагора?

О чем надо помнить, применяя теорему Пифагора?

5. Историческая справка:

Закончить просмотр презентации «Теорема Пифагора».

6. Подведение итогов урока:

Учитель: Сегодня мы с вами познакомились с теоремой Пифагора. Вы согласны с тем, что это одна из важнейших теорем геометрии? Почему? Теорема Пифагора справедлива только для прямоугольных треугольников. Так ли уж часто мы имеем с ними дело?

Объявить оценки.

Домашнее задание: I группа - №484б, 486 II группа - №488 а,б

Слайд 1

8 класс Монахова Е. Ю. –учитель математики СОШ №1 г. Сортавала, Карелия

Слайд 2

Слайд 3

Биография Пифагора С берегов Средиземноморьяколыбели европейской цивилизации, с тех давних времен, названных «весною человечества», дошло до нас имя Пифагор- не только самый популярный ученый, но и самая загадочная личность. Подлинную картину его жизни и достижений восстановить трудно, так как письменных документов о Пифагоре не осталось

Слайд 4

Биография Пифагора Известно, что родился Пифагор на острове Самос, расположенном в Эгейском море, в 576 г. до н. э. По совету Фалеса 22 года набирался мудрости в Египте. В Вавилон он попал не по своей воле. Во время завоевательных походов на Египет его взяли в плен и продали в рабство. Более 10 лет он жил в Вавилоне, изучал древнюю культуру и достижения науки разных стран.

«Геометрия владеет

двумя сокровищами:

одно из них – это

теорема Пифагора»

Иоганн Кеплер

Историческая справка

Пифагор – древнегреческий ученый, живший в VI веке до нашей эры.

Венчала геометрию теорема Пифагора , которой посвящён сегодняшний урок.

Опорное повторение по готовым чертежам

Какой треугольник изображён?

(Определите его вид)

Назовите катеты и гипотенузу данного треугольника.
Как найти площадь

Δ АВС?

На какие два многоугольника разбит данный многоугольник ABCDE?
Каким свойством площадей необходимо воспользоваться, чтобы найти площадь многоугольника ABCDE?
С помощью каких формул можно найти площадь квадрата ABCF и площадь треугольника DFE?
Запишите формулой площадь многоугольника ABCDE.

Практическая работа

2 ; b 2 ; c 2 . Сложите квадраты катетов (a 2 + b 2 У всех ли получилось, что a 2 + b 2 = с 2 ?
Постройте в тетрадях прямоугольный треугольник (с катетами, длина которых для удобства выражается целыми числами).
Измерьте катеты и гипотенузу. Результаты измерений запишите в тетрадях.
Возведите все результаты в квадрат, т. е. Узнайте величины a 2 ; b 2 ; c 2 .
Сложите квадраты катетов (a 2 + b 2 ) и сравните с квадратом гипотенузы.
У всех ли получилось, что a 2 + b 2 = с 2 ?

Современная формулировка

теоремы Пифагора

«В прямоугольном

треугольнике квадрат

гипотенузы равен

сумме квадратов катетов ».

Во времена Пифагора формулировка теоремы звучала так:

Теорема Пифагора

5 = 4 + 3

25=16+9

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Дано:

Найти: ВС

6 см

8 см

Дано:

Найти: ВС

5 см

7 см

13 см

Дано:

Найти:

12 см

В англоязычных странах ее называют ветряной мельницей, павлиньим хвостом и креслом невесты .

Шаржи к теореме Пифагора (из учебников XVI века)

а 2 +b 2 =c 2 .

Пифагоровы числа обладают рядом интересных особенностей, которые мы перечислим без доказательств:

Один из «катетов» должен быть кратным трём.
Один из «катетов» должен быть кратным четырём.
Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти.

Эти тройки можно найти по формулам: b=(a 2 -1)/2, c=(a 2 +1)/2.

Найдите неизвестные стороны треугольников.

из 9

Землемеры и строители Древнего Египта размечали прямые углы с помощью веревки, разделенной узлами на 12 равных кусков.

Посмотри!

Построение отрезка, длина которого есть иррациональное число. Улитка Архимеда.

«Смотри чертёж».

Догадайтесь сами, как построены отрезки с такими длинами.

d 2 =2a², d= a.

1.ширине окна (b) для наружных дуг

2. половине ширины, (b/2) для внутренних дуг

(b/4 + p) ² = (b/4) ² + (b/2 - p) ²

или b ² /16 + bp/2 + p ² = b ² /16 +b ² /4 - bp + p ² ,

bp/2 = b ² /4 - bp.

Разделив на b и приводя подобные члены, получим:

(3/2)p = b/4, p = b/6

НАЗАД

И. Дырченко

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим -

И таким простым путем

К результату мы придем.

О теореме Пифагора

A. Шамиссо

Над озером тихим

С полфута размером

Высился лотоса цвет.

Он рос одиноко,

И ветер порывом

Отнёс его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашёл же рыбак его

Ранней весною

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

“ Как озера вода здесь глубока?”

Какова глубина в современных единицах длины (1 фут приближённо равен 0,3 м) ?

Решение.

Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда AD = AB = Х + 0,5 .

Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB 2 – AC 2 = BC 2 ,

(Х + 0,5) 2 – Х 2 = 2 2 ,

Х 2 + Х + 0,25 – Х 2 = 4,

Х = 3,75.

Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута.

3, 75 0,3 = 1,125 (м)

Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м.

Решение.

Пусть CD – высота ствола.

BD = АВ

По теореме Пифагора имеем АВ = 5 .

CD = CB + BD,

CD = 3 + 5 =8.

Ответ: 8 футов.

Задача Бхаскары

Решение

Итак, в треугольнике АDВ: АВ 2 =ВD 2 +АD 2

АВ 2 =30 2 +Х 2

АВ 2 =900+Х 2 ;

в треугольнике АЕС: АС 2 = СЕ 2 +АЕ 2

АС 2 =20 2 +(50 – Х) 2

АС 2 =400+2500 – 100Х+Х 2

АС 2 =2900 – 100Х+Х 2 .

Но АВ=АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния за одинаковое время.

Поэтому АВ 2 =АС 2 ,

900+Х 2 =2900 – 100Х+Х 2 ,

100Х=2000,

Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша? "

1 Пифагор родился на острове:

в)Мадагаскар

а).Родос б)Крит в)Мадагаскар г)Самос

3. Выберите верное равенство для данного треугольника:

а)a 2 + c 2 = b 2

б)a 2 + b 2 = c

в)b 2 + c 2 = a 2

г)a 2 + b 2 = c 2

2. Теорема Пифагора гласит:

a)В треугольнике квадрат гипотенузы равен квадрату катетов.

б)В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.

в)В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

г)В прямоугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

a)В треугольнике квадрат гипотенузы равен квадрату катетов. б)В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов. в)В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. г)В прямоугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

4. Выберите тройку пифагоровых чисел:

а)2, 3 и 5 б)4, 5 и 8 в)5, 12 и 13 г)9, 11 и 14

Изречения Пифагора

Статуя формой своей хороша, А человека украсят дела.

Шуткой беседу укрась, освети. Шутка, что соль. Лишь не пересоли…

Лучше молчи, ну, а коль говоришь, Пусть будет лучше, чем то, что молчишь.

Если ты в гневе, не смей говорить! Действовать резко и злобу сорить.

Пред тем, как станешь говорить, пусть мысль созреет Под языком твоим. Созревшая - все смеет.

Память.

Открытый урок по геометрии 29.11.2014 г.

Тема урока: «ТЕОРЕМА ПИФАГОРА»

(8 В класс)

Содержание

Теорема Пифагора. Применение теоремы Пифагора к решению задач.

Цели урока:

1. Обучающие:
- расширить круг геометрических задач, решаемых школьниками
- исследовать закономерности между сторонами прямоугольного треугольника;
- изучить теорему Пифагора;
- формировать умения применять теорему Пифагора при решении задач;
Развивающие:
- развивать умение делать логические выводы;
- развивать мышление, культуру математической речи;

Воспитательные:
- воспитание общей культуры, активности, самостоятельности;
- воспитание трудолюбия, воспитание любви к предмету.

2. Познакомить учащихся с основными этапами жизни и деятельности Пифагора
3. Осуществление межпредметной связи геометрии с алгеброй, географией, историей, литературой.

Прогнозируемый результат

1. Знать зависимость между сторонами прямоугольного треугольника.

2. Уметь доказывать теорему Пифагора.

3. Уметь применять теорему Пифагора для решения задач.

План урока

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

3. Сообщение учащегося о жизни Пифагора Самосского.

4. Историческая справка о теореме Пифагора.

5. Работа над теоремой.

6. Решение задач с применением теоремы.

7. Подведение итога урока. Самостоятельная работа.

8. Домашнее задание.

Оборудование

Чертежные инструменты.

Презентация по данной теме.

Стенд с различными доказательствами теоремы Пифагора.

Рисунки к устным задачам.

Ход урока

Сегодня на уроке мы продолжаем изучение одной из важнейших теорем

геометрии – теоремы Пифагора. Она является основой решения множества

геометрических задач.

Слайд 2

Поговорим о математике, именем которого она названа. Ребята подготовили сообщение. (Абросимов Владимир, Глухов Владислав, Журавлёв Максим)

Слайды 3,4

Пифагор родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос - который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским. Пифагор был учеником Фалеса, теорему которого мы изучали.

Пифагор организовал школу из представителей аристократии школу которая в дальнейшем называлась школой Пифагорейцев. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения Пифагора. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками

Кроме духовного и нравственного развития учеников Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду великих олимпийцев

Система морально-этических правил, завещанная ученикам Пифагора,

была собрана в своеобразный моральный кодекс пифагорейцев.

Кадеты подготовили некоторые из 325 заповедей Пифагора.

Не делай ничего постыдного ни в присутствии других, ни втайне.

Первым твоим законом должно быть уважение к себе самому.

Не закрывай глаз, когда хочешь спать, не разобравши всех своих поступков за прошедший день.

Никто не должен преступать меру ни в пище, ни в питии.

Будь благословенно божественное число, породившее богов и людей.

Прежде всего не теряй самоуважения!

Все исследуй, давай разуму первое место.

Делай великое, не обещая великого.

Для познания нравов какого ни есть народа старайся прежде изучить его язык.

Если можешь быть орлом, не стремись стать первым среди галок.

Живи с людьми так, чтобы твои друзья не стали недругами, а недруги стали друзьями.

Избери себе друга; ты не можешь быть счастлив один: счастье есть дело двоих.

Как ни коротки слова «да» и «нет», все же они требуют самого серьезного размышления.

Одному только разуму, как мудрому попечителю, должно вверять всю жизнь.

Статую красит вид, а человека - его деяния.

Только неблагодарный человек способен в глаза хвалить, а за глаза злословить.

У друзей все общее, и дружба есть равенство.

Что бы о тебе ни думали, делай то, что ты считаешь справедливым.

Будь одинаково равнодушным и к порицанию, и к похвале.

Шутку, как и соль, должно употреблять с умеренностью.

Сегодня абсолютно невозможно сказать, какие из сотен подобных заповедей

восходят к самому Пифагору. Но совершенно очевидно, что все они выражают

вечные общечеловеческие ценности, которые остаются актуальными всегда,

пока жив человек.

Вспомним определения и решим несколько устных задач. Слайды 5,6,7

Дайте определение прямоугольного треугольника

Что такое пропорция? Назовите основное свойство пропорции.

Дайте определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника; от чего зависит и не зависит косинус;

Назовите стороны :

п рилежащие к углу А;

противолежащие углу А;

прилежащие к углу В;

противолежащие углу В.

Наз о в ите cos A, cos B.

Ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математическое доказательство » Слайды 7 8

Пифагор сделал много важных открытий, но наибольшую славу учёному принесла доказанная им теорема, которая сейчас носит его имя. Существуют 367 способов доказательства теоремы (Пётр Ипатов).

Предполагают, что во времена Пифагора теорема звучала так: «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах».

Демонстрация модели.

Сейчас услышим доказательство теоремы, Слайды 9,10 стиховорение 11

Пифагоровы штаны-12 Шаржы-13

Популярность теоремы столь велика, что её доказательства встречаются даже в

художественной литературе, например в рассказе известного английского

писателя Хаксли «Юный Архимед».

Задачи на готовых чертежах Слайд 14

Египетский треугольник Слайд 15

Пифагоровы тройки Слайд 16

Задача арабского математика Слайд 17

Задача о тросе Слайд 18

Самостоятельная работа.

Кроссворд Слайд 19

Теореме Пифагора посвящены стихи. Слайд 20

О теореме Пифагора

Суть истины вся в том, что нам она – навечно,

Когда хоть раз в прозрении её увидим свет,

И теорема Пифагора через столько лет

Для нас. Как для него, бесспорна, безупречна…

(Отрывок из стихотворения А. Шамиссо)

Итог урока

Чему посвящён урок?

Что нового узнали на уроке?

Интересен ли для вас был урок?

Что вам особенно запомнилось?

Возникли ли трудности при усвоении материала?

Что нужно сделать, чтобы преодалеть их?

Домашняя работа п.63-64 № 3,4 стр.94