Функции, их свойства и графики. Свойства и графики элементарных функций - презентация Функция и график функции презентация

Введение. Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время все шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, все более внедряется в традиционно далекие от нее области. Как образно заметил великий Галилео Галилей (1564 – 1642 гг.), книга природы написана на математическом языке, и ее буквы – математические знаки и геометрические фигуры, без них невозможно понять ее слова, без них тщетно блуждание в бесконечном лабиринте. И именно функция является тем средством математического языка, которое позволяет описывать процессы движения, изменения, присущие природе. Изучая квадратичную функцию в 9 классе, мы выполняли преобразования графика этой функции. В результате этих преобразований построение графика выполнялось легко и просто. И я задумался: «А нельзя ли выполнять аналогичные преобразования с графиками других функций, например линейной функции, обратной пропорциональности, степенной функции?». Поэтому я выбрал тему своей работы «Класс элементарных функций и их графики», поставив перед собой цель: понять и изучить способы образования элементарных функций и преобразования их графиков.

Из истории развития функции. Впервые функция вошла в математику под именем «переменная величина» в знаменитом труде французского математика и философа Р. Декарта «Геометрия», и её появление послужило, по словам Ф. Энгельса, поворотным пунктом в математике, благодаря чему в неё вошли движение, диалектика. Без переменных величин И.Ньютон не смог бы выразить законы динамики, описывающие процессы механического движение тел – небесных и вполне земных, а современные ученые не могли бы рассчитывать траектории движения космических кораблей и решать бесконечное множество технических проблем нашей эпохи.

Из истории развития функции. С развитием науки понятие функции уточнялось и обобщалось. Сейчас оно стало настолько общим, что совпадает с понятием соответствия. Таким образом, функцией в общем понимании называется любой закон (правило), по которому каждому объекту из некоторого класса, области определения функции, поставлен в соответствие некоторый объект из другого (или того же) класса – области возможных значений функции. Но мы не рассматриваем понятие функции в столь общем понимании, а считаем, что как независимая, так и зависимая переменные – это величины. Таким образом функцией называется зависимость, связывающая с каждым значением одной переменной величины (аргумента) из некоторой области ее изменения определенное значение другой величины (функции). Если аргумент обозначить через х, значение функции - через у, а саму зависимость – функцию – символом f, то связь между значениями функции и аргументом так: y=f(x).

Способы задания функций. Существуют три основных способа выражения зависимостей между величинами: табличный, графический и аналитический («формульный»). Табличный способ важен потому, что является основным при обнаружении реальных зависимостей и может оказаться к томуже единственным средством их задания (формулу не всегда удается подобрать, а порой в ней и нет необходимости).К табличному заданию функции часто переходят при выполнении практических расчетов, с ней связанных: например, применение таблиц квадратных корней удобно при проведении расчетов, в которых участвуют такие корни. С математической точке зрения, табличное задание непрерывных зависимостей всегда неполно и дает лишь информацию о значениях функции в отдельных точках.

Способы задания функций Графический способ представления зависимостей также является одним из средств их фиксации при изучении реальных явлений. Это позволяет делать различные «самопишущие» приборы, такие, как сейсмограф, электрокардиограф, осциллограф и т.п., изображающие информацию об изменении измеряемых величин в виде графиков. Но если есть график, то значит, определена и соответствующая ему функция. В таких случаях говорят о графическом задании функции. Однако графический способ задания функции неудобен для расчетов; к тому же, подобно табличному, он является приближенным и неполным. Аналитическое (формульное) задание функции отличается своей компактностью, легко запоминается и содержит в себе полную информацию о зависимости. Функцию можно задать с помощью формулы, например: y=2x+5, S=at2/2, S=vt. Эти формулы можно вывести с помощью геометрических или физических рассуждений. Порой формулы получаются в результате обработки эксперимента, такие формулы называются эмпирическими.

Класс элементарных функции К элементарным функциям относятся практически все функции, встречающиеся в школьном учебнике. Прежде всего, имеется достаточно представительный набор широко известных и хорошо изученных функций, которые называются основными элементарными функциями. Это функции: y=C, называемая константой, y= xа - степенная (при а = 1 получается функция y=x, называемая тождественной). Графики этих функций прилагаются. (приложение 1-7) Имея в распоряжении основные элементарные функции, можно ввести ряд операций, позволяющих комбинировать их между собой как детали для получения более сложных и разнообразных конструкций. Допустимые арифметические действия над функциями. [+] – сложение, [-] – вычитание, [*] – умножение, [:] – деление. Все те функции, которые можно получить из основных элементов с помощью арифметических операций называются элементарными функциями составляют класс элементарных функций.

Образование класса элементарных функций Имея определенный набор базисных функций f1 , f2 ,f3 ,...fk и допустимых операций F1, F2, ... Fs над ними (их разрешается применять любое число раз), мы можем получать другие функции, подобно тому, как из деталей конструктора с помощью определенных правил их соединения можно получить разные модели. Класс всех получаемых таким образом функций обозначается так: < f1,f2,...fk; F1,F2,...Fs>. В частности, если принять за базисные все основные элементарные функции и допустить лишь арифметические операции, то получим класс элементарных функций. Беря в качестве базисных часть основных элементарных функций и допуская, возможно, лишь часть указанных операций, получим некоторые подклассы класса элементарных функций, некоторые семейства функций, порождаемые данным базисом и данными операциями. Вот несколько примеров таких семейств функций, где под (а) понимается операция умножения на любую константу: - семейство целых положительных степеней у=х, где n € N; - семейство линейных функций у= ах+в; - семейство многочленов у= ахn +...+an-1x +an, где n € N.

Построение графиков Для построения графика функции у= 3х2 надо график функции у= х2 умножить на 3. В результате график функции у= х2 растянется в 3 раза вдоль оси ординат, а если у=0,3 х2 , то произойдет сжатие графика в 0,3 раза вдоль оси Оу. (приложение 8, 9).

Построение графиков График функции у=3(х -4)2 можно получить, выполнив следующие действия: - сложить графики тождественной функции у=х и константы у=-4, получим график функции у=х-4; - перемножить графики функций у=х-4 и у=х-4, получим график функции у= (х -4)2 ; - умножить у= (х -4)2 на 3, получим график функции у=3(х -4)2. Или просто график функции у=3х2 сдвинуть по оси Ох на 4 единичных отрезка (Приложение10).

Преобразования исходного графика функции y= f(x). Из вышесказанного можно сделать следующий вывод, что выполняя различные действия с графиками элементарных функций, мы выполняем преобразования этих графиков, а именно: параллельный перенос, симметрию относительно прямой Ох и прямой Оу.

F (х2)\n\nКоломина Н.Н..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-13_300.jpg"},{"number":14,"text":"На рисунке изображен график функции y = f(x), заданной на\nпромежутке (-5;6). Укажите промежутки, где\nфункция возрастает.\nПодума\n1\n2\n3\n\nй!\n\n[-6;7]\nПодума\nй!\n[-5;-3] U\n\nПодума\nй!\n[-3;7]\nВерно!\n\nу\n7\n\n3\n-5\n\n-3\n\n0\n-2\n\n4\n\n[-3;2]\n-6\n\nПроверка (1)\n\nКоломина Н.Н..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-14_300.jpg"},{"number":15,"text":"На рисунке изображен график функции y = f(x).\nУкажите количес\nнулей функции.\ny\n\nПодума\nй!\n1\n\n1\n\n2\n\n2\n\n3\n\n4\n\n4\n\n0\n\nПодума\nй!\nВерно!\n\nх\n\nПодума\nй!\n\nПроверка (1)\nКоломина Н.Н.\n\n0\n\nНуль функции – значение х, при котором y = 0. На\nрисунке – это точки пересечения графика с осью Ох..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-15_300.jpg"},{"number":16,"text":"Какие из функций являются\nвозрастающими, а какие убывающими?\n\n1) y 5\n\nx\n\nвозрастающая, т.к.5  1\n\n2) y 0,5\n\n3) y 10\n\nx\n\nx\n\nубывающая, т.к.0  0,5  1\n\nвозрастающая, т.к.10  1\n\nая, т.к.  1\n4) y  x возрастающ\nx\n\n 2\n5) y  \n 3\n\n6) y 49\nКоломина Н.Н.\n\nx\n\n2\nубывающая, т.к.0   1\n3\n1\n1\nубывающая, т.к..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-16_300.jpg"},{"number":17,"text":"Исследование функции на монотонность.\nКак возрастающие, так и убывающие функции\nназываются монотонными, а промежутки, в\nкоторых функция возрастает или убывает, промежутками монотонности.\n\/\\\n\nНапример, функция у= Х2 при х 0 монотонно\nвозрастает.\nФункция у= Х3 на всей числовой оси монотонно\nвозрастает, а\nфункция у= -Х3 на всей числовой оси монотонно\nубывает.\nКоломина Н.Н..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-17_300.jpg"},{"number":18,"text":"Исследовать функцию на монотонность\nх\nу\n\nФункция у=х2\n\n-2 -1 0\n4 1 0\n\n1\n1\n\n2\n4\n\ny\n6\n5\n4\n3\n2\n1\n\n-6\n4\n\n-5\n5\n\n-4\n6\n\n-3\n\n-2 - -1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n\nКоломина Н.Н..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-18_300.jpg"},{"number":19,"text":"Обратная функция\nЕсли функция y  f (х) принимает каждое свое\nзначение только при единственном значении х, то\nтакую функцию называют обратимой.\nНапример, функция у=3х+5 является обратимой, т.к.\nкаждое значение у принимается при единственном\nзначении аргумента х. Напротив, функция у= 3Х2 не\nявляется обратимой, поскольку, например, значение\nу=3 она принимает и при х=1, и при х=-1.\nДля всякой непрерывной функции (такой, которая не\nимеет точек разрыва) существует монотонная\nоднозначная и непрерывная обратная функция.\nКоломина Н.Н..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-19_300.jpg"},{"number":20,"text":"Диктант\n№\n\n№\n\nВариант-1\n\nВариант-2\n\nНайти область определения функции\n1\n\nу  х2  1\n\n1\n\nу\n\nНайти область значений\n2\n\nу\n\n3\n\nх 1\nх2  2\n\nх 1\n2\n2\nу\nх 2\nУказать способ задания функции\n\nх\n\n-2\n\n-1\n\n0\n\n1\n\nу\n\n3\n\n5\n\n7\n\n9\n\n3\n\nх2  1\n\n x  3, x   3;\nh x   2\n x  3, x  3.\n\nИсследовать функцию на четность\n4\n\n4\nИсследовать промежутки возрастания и убывания функции.\n\n5\nКоломина Н.Н..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-20_300.jpg"},{"number":21,"text":"Функции.\n1. Линейная функция\n2.Квадратичная функция\n3.Степенная функция\n4.Показательная функция\n5.Догарифмическая функция\n6. Тригонометрическая\nфункция\nКоломина Н.Н..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-21_300.jpg"},{"number":22,"text":"Линейная функция\n\ny = kx + b\ny\nb – свободный\nкоэффициент\nk – угловой\nкоэффициент\n\nk = tg α\nКоломина Н.Н..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-22_300.jpg"},{"number":23,"text":"Квадратичная функция\n\ny = ax2 + bx + c, а ≠ 0\ny\n\n2\n\n b  b  4ac\nx1,2 \n2a\nb\nxв  \n2а\n4ac  b2\nyв \n4a\nКоломина Н.Н..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-23_300.jpg"},{"number":24,"text":"Степенная функция\n\ny = xn\n\ny\n\ny = xnn, где n = 2k, k  Z\n\ny = xnn, где n = 2k +1, k  Z\n\n1\n01\n\nКоломина Н.Н..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-24_300.jpg"},{"number":25,"text":"Показательная функция\nx\ny = a , а > 0, a ≠ 1\ny\n\ny=a\n01\n\nx\n\n1\nКоломина Н.Н..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-25_300.jpg"},{"number":26,"text":"Логарифмическая функция\ny\n\ny = loga x , а >.jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-26_300.jpg"},{"number":27,"text":"Самостоятельная работа\nПостроить графики функций и найти:\n1. D(y)-область определения;\n2.E(y)-множество её значений;\n3.Проверить на чётность (нечётность);\n4.Найти промежутки монотонности и\nВариант-1\nВариант-2\nпромежутки\nзнакопостоянства;\n1.\n5.Определить точки1.пересечения с осями\n2.\n\n2.\n\n3.\n\n3.\n\n4.\n\n4.\n\n5.\n\n5.\n\nКоломина Н.Н..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-27_300.jpg"},{"number":28,"text":"Вопросы для повторения\n1.Сформулируйте определение функции.\n2.Что называется областью определения функции?\n3. Что называется областью изменения\nфункции?\n4.Какими способами может быть\nзадана функция?\n5.Как находится\nобласть определения функции?\n6.Какие функции называются четными и как они исследуются на\nчетность?\n7.Какие функции\nназываются нечетными и как они исследуются на нечетность?\n8.Приведите примеры\nфункций, которые не являются ни четными, ни нечетными.\n9.Какие функции называются\nвозрастающими? Приведите примеры.\n10.Какие функции называются убывающими?\nПриведите примеры.\n11.Какие функции называются обратными?\n12.Как расположены графики прямой и\nобратной функций?\n\nКоломина Н.Н..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-28_300.jpg"},{"number":29,"text":"Источники\nСсылки на изображения:\nГрафик:http:\/\/goldenbakes.com\/wordpress\/wpcontent\/uploads\/2013\/07\/\nSectors_Investment_Funds.jpg\nЛисток в клетку: http:\/\/demeneva.ru\/rmk\/fon\/59.png\nАвтор шаблона: Наталья Николаевна Коломина учитель математики\nМКОУ «Хотьковская СОШ» Думиничского района Калужской области.\nПрезентации:\nhttp:\/\/festival.1september.ru\/articles\/644838\/presentation\/pril.pptx Мухина Галина\nГеннадьевна\nhttp:\/\/prezentacii.com\/matematike\/223-sих графики voystva-funkciy-i-ih-grafiki.html\nhttp:\/\/semenova-klass.moy.su\/_ld\/1\/122____.ppt Елена Юрьевна Семенова\nБогомолов Н.В. Математика: учеб. для ссузов \/ Н.В.Богомолов,\nП.И.Самойленко.-3-е изд., стереотип.- М.: Дрофа, 2005.-395с.\n\nКоломина Н.Н..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-29_300.jpg"}]">

Слайд 1

Тема 1.4 Функции, их свойства и графики

Слайд 2

Цели урока: Ознакомиться с понятием «функция», закрепить его на примерах Усвоить новые термины Узнать методы исследования функции Закрепить знания по теме при решении задач Научиться строить графики функций Коломина Н.Н.

Слайд 3

Немного истории Слово "функция" (от латинского functio - совершение, выполнение) впервые употребил в 1673 г. немецкий математик Лейбниц. В главном математическом труде "Геометрия" (1637) Рене Декарта впервые введено понятие переменной величины, создан метод координат, введены значки для переменных величин (x, y, z, ...) Коломина Н.Н. Определения функции «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, cоставленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств» сделал в 1748 г. немецкий и российский математик Леонард Эйлер

Слайд 4

Определение. «Зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у, называют функцией». у 6 5 4 3 2 1 х -6 -5 6 Символически функциональная зависимость между переменной у (функцией) и переменной х (аргументом) записывается с помощью равенства y  f (x) -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 Способы задания функций: табличный (таблица), графический(график), аналитический (формула). Коломина Н.Н. 0 1 2 3 4 5

Слайд 5

Общая схема исследования функции 1. Область определения функции. 2.Исследование области значений функции. 3. Исследование функции на четность. 4.Исследование промежутков возрастания и убывания функции. 5. Исследование функции на монотонность. 5. Исследование функции на экстремум. 6. Исследование функции на периодичность. 7. Определение промежутков знакопостоянства. 8.Определение точек пересечения графика функции с осями координат. 9. Построение графика функции. Коломина Н.Н.

Слайд 6

Область определения функции Областью определения (существования) функции называется множество всех действительных значений аргумента, при которых она может иметь действительное значение. Например, для функции у=х областью определения является множество всех действительных значений чисел R ; для функции у=1/х областью определения является множество R кроме х=0. Коломина Н.Н.

Слайд 7

Найдите область определения функции, график которой изображен на рисунке. 1 2 3 4 Подума [-5;7) й! [-5;7]Подума й! (-3;5] Проверка (1) Коломина Н.Н. у Подума й! Верно! [-3;5] 5 -5 0 7 х -3 Область определения функции – значения, которые принимает независимая переменная х.

Слайд 8

Множество значений функции. Множеством значений функции называется множество всех действительных значений функции у, которые она может принимать. Например, множеством значений функции у= х+1 является множество 2 R, у= Х +1 множеством значений функции является множество действительных чисел, больше или равных 1. Коломина Н.Н.

Слайд 9

Найдите множество значений функции, график которой изображен на рисунке. 1 2 Подума й! [-6;6] у 6 Подума й! [-4;6] Верно! -4 3 (-6;6) 4 Подума й! (-4;6) 0 6 х -6 Проверка (1) Коломина Н.Н. Множество значений функции – значения, которые принимает зависимая переменная у.

Слайд 10

Исследование функции на четность. Функция y  f (х) называется четной, если при всех значений х в области определения этой функции при изменения знака аргумента на противоположный значение функции не изменяется, т.е. . f ( х) парабола  f (х) у= Х2 является четной Например, функцией, т.к. (-Х2)= Х2 . График четной функции симметричен относительно оси Коломина Н.Н. оу.

Слайд 11

На одном из следующих рисунков изображен график четной функции. у у Укажите этот график. Подума й! Подума й! 1 0 х у 0 у х 2 Верно! Подума й! 3 Проверка (1) Коломина Н.Н. 4 0 х 0 График симметричен относительно оси Oу х

Слайд 12

Функция y  f (х) называется нечетной, если при всех значениях х в области определения этой функции при изменении знака аргумента на противоположный функция изменяется только по знаку, т.е. f ( х)  f (х) . Например, функция у= Х3 – нечетная, т.к. (-Х)3 = -Х3. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Свойством четности или нечетности обладает не всякая функция. Например, функция f (х)  Х2+ Х3 не является ни четной, ни нечетной: f ( х)  (-Х)2+ (-Х)3 = Х2 – Х3; Коломина Н.Н. Х2 + Х3= / Х2 – Х3 ;

Слайд 13

На одном из следующих рисунков изображен график нечетной функции. Укажите у этот график. у Верно! Подума й! О 1 х у О Подума й! О Проверка (1) Коломина Н.Н. 3 у Подума й! 2 х х О х 4 График симметричен относительно точки О.

Слайд 14

Определение промежутков возрастания и убывания 1 /\ /\ /\ /\ Среди множества функций есть функции, значения которых с увеличением аргумента только возрастают или только убывают. Такие функции называются возрастающими или убывающими. Функция называется возрастающей в промежутке а х в, если для любых Х1 и Х2 , принадлежащих этому промежутку, при Х1 Х2 имеет место неравенство 2 /\ /\ /\ Функция y  f (х) называется убывающей в промежутке а х в, если для любых Х1 и Х2, принадлежащих этому промежутку, при Х1 Х2 имеет место неравенство f (х1) > f (х2) Коломина Н.Н.

Слайд 15

На рисунке изображен график функции y = f(x), заданной на промежутке (-5;6). Укажите промежутки, где функция возрастает. Подума 1 2 3 й! [-6;7] Подума й! [-5;-3] U Подума й! [-3;7] Верно! у 7 3 -5 -3 0 -2 4 [-3;2] -6 Проверка (1) Коломина Н.Н. 2 6 х

Слайд 16

На рисунке изображен график функции y = f(x). Укажите количес нулей функции. y Подума й! 1 1 2 2 3 4 4 0 Подума й! Верно! х Подума й! Проверка (1) Коломина Н.Н. 0 Нуль функции – значение х, при котором y = 0. На рисунке – это точки пересечения графика с осью Ох.

Слайд 17

Какие из функций являются возрастающими, а какие убывающими? 1) y 5 x возрастающая, т.к.5  1 2) y 0,5 3) y 10 x x убывающая, т.к.0  0,5  1 возрастающая, т.к.10  1 ая, т.к.  1 4) y  x возрастающ x  2 5) y    3 6) y 49 Коломина Н.Н. x 2 убывающая, т.к.0   1 3 1 1 убывающая, т.к.49  и 0  1 49 49 1

Слайд 18

Исследование функции на монотонность. Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, промежутками монотонности. /\ Например, функция у= Х2 при х 0 монотонно возрастает. Функция у= Х3 на всей числовой оси монотонно возрастает, а функция у= -Х3 на всей числовой оси монотонно убывает. Коломина Н.Н.

Слайд 19

Исследовать функцию на монотонность х у Функция у=х2 -2 -1 0 4 1 0 1 1 2 4 y 6 5 4 3 2 1 -6 4 -5 5 -4 6 -3 -2 - -1 1 2 3 4 5 6 Коломина Н.Н. 0 1 2 3 Функция у=х2 х при х0 монотонно возрастает

1 слайд

2 слайд

Определение функции. Среди перечисленных ниже зависимостей укажите только те, которые представляют собой функцию: у = х2 + 1, y = 8, x = - 1, y = |x|, Дайте определение функции.

3 слайд

Область определения и область значений функции. Укажите область определения функций: Для функций, записанных выше, укажите область значений. 1) 2) 3) 4)

4 слайд

Способы задания функции. Ниже вы видите функции, заданные различными способами. Для каждой функции назовите способ ее задания: f(x) = 4x 2+5 y x 0 g(x) x y 0 s х -2 -1 0 1 у 3 5 7 9

5 слайд

Виды функций. Были изучены следующие виды функций: линейная; прямая и обратная пропорциональность; дробно-линейная; квадратичная; y = |x|; y = [x], y = {x}, y = sgn x.

6 слайд

Функции у = [x], y = {x}, y= sgn x. Графики каких функций изображены на рисунках? Назовите свойства каждой из них. у х -2 –1 0 1 2 1 а 0 -1 1 х у б -2 –1 0 1 2 х у 1 в

7 слайд

Выводы. Итак, в результате работы над проектом мы изучили свойства и построили графики следующих функций: линейной; прямой и обратной пропорциональности; дробно-линейной; квадратичной; y = |x|; y = [x], y = {x}, y = sgn x.

8 слайд

Самостоятельная работа. Самостоятельная работа состоит из двух частей: компьютерный тест; письменная работа по карточкам.

9 слайд

Функцией называется зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению независимой переменной ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной.

10 слайд

Существуют различные способы задания функции: аналитический; табличный; графический; кусочное задание.

11 слайд

Аналитический способ задания функции. Задание функции с помощью формулы (аналитического выражения) называют аналитическим способом задания функции. y= x2 + 2x y= - 2 x + 8

12 слайд

Табличный способ задания функции. Функцию можно задать таблицей, где перечисляются все значения аргумента и функции. Такой способ задания функции называется табличным. х -5 -3 0 2 4 у 6 10 18 24 35

13 слайд

Графический способ задания функции. Задание функции с помощью графика называется графическим способом. Графиком функции у = f (х) называется множество точек (х, у), координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Одним из самых важных вопросов при изучении алгебры является функция. Изучение начинается еще в 7 классе. Однако учащиеся часто воспринимают материал с большим трудом. И даже в 11 классе тема вызывает трудности. Данная презентация является обобщением материала и надеюсь поможет снять трудности приизучении данной темы

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Функция. Свойства и графики функций. Логинова Н.В. учитель математики МБОУ «СОШ № 16» г. Ижевска 14.12.2014

Повторение по теме: 1. Что такое функция? Определение. Зависимость переменной y от переменной x , при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у, называют функцией. Определение. Соответствие f между двумя множествами X и Y , при котором каждому элементу множества X ставится в соответствие единственный элемент множества Y , называется функцией. 0 1 1 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 2 1 1

2. Как можно задать функцию? Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции. Способы задания функций: табличный, графический, аналитический(с помощью формулы), словесный. 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 3

Напомним, что графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции. Все значения независимой переменной образуют область определения функции. 3. Что такое график? 4. Что такое область определения и область значения функции? 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 4

1. 2. 3. ; () 4. 5. 6. ; () ; () Найдите область определения функции 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 5

Назовите функции с одинаковой областью определения 1. 2 . 3. 4. 5. 6. Задайте формулой функцию с областью определения 7. 8. 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 6

На рисунке изображён график зависимости температуры Т (º С) от времени суток t (час) Т ºc 4 2 t 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 ч -2 -4 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 7

Ограниченность функции Функция у = f (x) называют ограниченной снизу на множестве Х  D (f) , если все значения функции на множестве Х больше некоторого числа. если существует число m такое, что для любого значения х  Х выполняется неравенство f (x) > m . 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 8

Непрерывность функции х у 0 х у 0 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 9

Область определения функции D (f) – симметричное множество; 2. Для любого х  Х выполняется равенство: f (– x) = f (x) х у f (– x) = – f (x) х у Четные и нечетные функции 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 10

Выпуклость функции х у 0 х у 0 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 11

Периодичность функции Периодической называется функция, удовлетворяющая условию: f(x+T)=f(x) для любого х. Наименьшее значение Т называется периодом функции 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 12

Общая схема исследования функции 1. Область определения функции. 2. Исследование области значений функции. 3. Определение точек пересечения графика функции с осями координат (нули функции). 4. Исследование функции на монотонность (возрастание, убывание функции) 5. Определение промежутков знакопостоянства. 6. Исследование функции на непрерывность. 7. Исследование функции на четность. 8. Наибольшее и наименьшее значения функции. 9. Ограниченность функции. 10. Выпуклость функции. 11. Периодичность функции. 12. Построение графика функции. 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 13

х у 0 k > 0 возрастающая х у 0 k

Свойства функции D (f) = (- ;0)(0;+) Е (f) = (- ;0)(0;+) Монотонность k > 0 k

Свойства функции у = kx 2 1 . D (f) = (-  ;+ ) k > 0 k

График постоянной функции х у 0 у = С С 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 17

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 6 Рис. 5 Рис. 4 Рис. 7 Рис. 8 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 18

Чтение графиков функций Самостоятельная работа Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 19

1 2 3 4 1 вариант Укажите область определения функции 2 вариант Укажите множество значений функции 1 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 20

1 2 3 4 2 1 вариант Укажите номер четной функции 2 вариант Укажите номер нечетной функции 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 21

3 На каком из следующих множеств функция, график которой изображен на рисунке 1 вариант 2 вариант возрастает убывает 1 2 3 4 1 2 3 4 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 22

1 2 3 4 1 вариант Найдите все значения, для которых выполняется неравенство. 2 вариант Найдите все значения, для которых выполняется неравенство. 4 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 23

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Описание слайда:

2 слайд

Описание слайда:

3 слайд

Описание слайда:

Немного истории Слово "функция" (от латинского functio - совершение, выполнение) впервые употребил в 1673 г. немецкий математик Лейбниц. Определения функции «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, cоставленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств» сделал в 1748 г. немецкий и российский математик Леонард Эйлер Коломина Н.Н.

4 слайд

Описание слайда:

Определение. «Зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у, называют функцией». Символически функциональная зависимость между переменной у (функцией) и переменной х (аргументом) записывается с помощью равенства Способы задания функций: табличный (таблица), графический(график), аналитический (формула). Коломина Н.Н.

5 слайд

Описание слайда:

6 слайд

Описание слайда:

7 слайд

Описание слайда:

[-3;5] 0 х у 7 -5 [-5;7) [-5;7] (-3;5] Найдите область определения функции, график которой изображен на рисунке. 5 -3 Область определения функции – значения, которые принимает независимая переменная х. Коломина Н.Н.

8 слайд

Описание слайда:

Множество значений функции. Множеством значений функции называется множество всех действительных значений функции у, которые она может принимать. Например, множеством значений функции у= х+1 является множество R, множеством значений функции является множество действительных чисел, больше или равных 1. у= Х2 +1 Коломина Н.Н.

9 слайд

Описание слайда:

Найдите множество значений функции, график которой изображен на рисунке. у х 0 -6 -4 6 6 (-4;6) [-6;6] (-6;6) [-4;6] Множество значений функции – значения, которые принимает зависимая переменная у. Коломина Н.Н.

10 слайд

Описание слайда:

Исследование функции на четность. Функция называется четной, если при всех значений х в области определения этой функции при изменения знака аргумента на противоположный значение функции не изменяется, т.е. . Например, парабола у= Х2 является четной функцией, т.к. (-Х2)= Х2 . График четной функции симметричен относительно оси оу. Коломина Н.Н.

11 слайд

Описание слайда:

На одном из следующих рисунков изображен график четной функции. Укажите этот график. х х х х у у у у График симметричен относительно оси Oу 0 0 0 0 Коломина Н.Н.

12 слайд

Описание слайда:

Функция называется нечетной, если при всех значениях х в области определения этой функции при изменении знака аргумента на противоположный функция изменяется только по знаку, т.е. . Например, функция у= Х3 – нечетная, т.к. (-Х)3 = -Х3. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Свойством четности или нечетности обладает не всякая функция. Например, функция не является ни четной, ни нечетной: Х2+ Х3 (-Х)2+ (-Х)3 = Х2 – Х3; Х2 + Х3 Х2 – Х3; = / Коломина Н.Н.

13 слайд

Описание слайда:

х х х х у у у у На одном из следующих рисунков изображен график нечетной функции. Укажите этот график. График симметричен относительно точки О. О О О О Коломина Н.Н.

14 слайд

Описание слайда:

Среди множества функций есть функции, значения которых с увеличением аргумента только возрастают или только убывают. Такие функции называются возрастающими или убывающими. Функция называется возрастающей в промежутке а х в, если для любых Х1 и, принадлежащих этому промежутку, при Х1 Х2 имеет место неравенство Определение промежутков возрастания и убывания /\ /\ Х2 /\ /\ 1 2 Функция называется убывающей в промежутке а х в, если для любых Х1 и Х2, принадлежащих этому промежутку, при Х1 Х2 имеет место неравенство /\ /\ /\ 2 1 > Коломина Н.Н.

15 слайд

Описание слайда:

[-6;7] [-5;-3] U [-3;7] [-3;2] х 0 2 6 -5 7 -3 -6 -2 3 На рисунке изображен график функции y = f(x), заданной на промежутке (-5;6). Укажите промежутки, где функция возрастает. у Коломина Н.Н.

16 слайд

Описание слайда:

y х 1 2 4 0 Нуль функции – значение х, при котором y = 0. На рисунке – это точки пересечения графика с осью Ох. На рисунке изображен график функции y = f(x). Укажите количество нулей функции. 0 Коломина Н.Н.

17 слайд

Описание слайда:

18 слайд

Описание слайда:

Исследование функции на монотонность. Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, - промежутками монотонности. Например, функция у= Х2 при х 0 монотонно возрастает. Функция у= Х3 на всей числовой оси монотонно возрастает, а функция у= -Х3 на всей числовой оси монотонно убывает. /\ /\ Коломина Н.Н.

19 слайд

Описание слайда:

Исследовать функцию на монотонность Функция у=х2 Функция у=х2 при х<0 монотонно убывает, при х>0 монотонно возрастает х -2 -1 0 1 2 у 4 1 0 1 4 Коломина Н.Н.

20 слайд

Описание слайда:

Обратная функция Если функция принимает каждое свое значение только при единственном значении х, то такую функцию называют обратимой. Например, функция у=3х+5 является обратимой, т.к. каждое значение у принимается при единственном значении аргумента х. Напротив, функция у= 3Х2 не является обратимой, поскольку, например, значение у=3 она принимает и при х=1, и при х=-1. Для всякой непрерывной функции (такой, которая не имеет точек разрыва) существует монотонная однозначная и непрерывная обратная функция. Коломина Н.Н.

21 слайд

Описание слайда:

Диктант Найти область значений Исследовать промежутки возрастания и убывания функции. № Вариант-1 № Вариант-2 Найти область определения функции 1 1 2 2 Указать способ задания функции 3 3 Исследовать функцию на четность 4 4 5 5 х -2 -1 0 1 у 3 5 7 9 Коломина Н.Н.

22 слайд

Описание слайда:

Функции. 1. Линейная функция 2.Квадратичная функция 3.Степенная функция 4.Показательная функция 5.Догарифмическая функция 6. Тригонометрическая функция Коломина Н.Н.

23 слайд

Описание слайда:

Линейная функция y = kx + b k – угловой коэффициент b x y α 0 b – свободный коэффициент k = tg α Коломина Н.Н.

24 слайд