Перечеркнуть 9 точек четырьмя линиями. Как соединить девять точек четырьмя линиями. В случае с коробкой важны несколько факторов

Нестандартная по своему рассуждению задачка о том, как соединить 9 точек 4 линиями, заставляет разбить стереотипы и включить творчество.

Как правильно расположить точки и рисунок?

На листе бумаги, лучше если он будет в клеточку, нужно нарисовать 9 точек. Они должны быть расположены по три в ряд. Выглядеть схема будет, как квадратик, в центре которого стоит точка, и посередине каждой из сторон тоже она имеется. Лучше, если этот рисунок расположить в стороне от краев листа. Такое размещение квадратика потребуется для того, чтобы правильно решить задачу о том, как соединить 9 точек 4 линиями.

Условие задачи

Требования, которые обязательно нужно учесть:

Соблюдая эти правила, нужно соединить 9 точек 4 линиями. Очень часто уже через пару минут размышлений над этим рисунком человек начинает утверждать, что ответа у этого задания нет.

Решение задачи

Главное в том, чтобы забыть все, чему учили в школе. Там дают стереотипные представления, которые здесь только помешают.

Основная причина того, что задание о том, как соединить 9 точек 4 линиями, не разгадывается в следующем случае: они заканчиваются в нарисованных точках.

Это принципиально неправильно. Точки — это концы отрезков, а в задаче явно говорится о линиях. Этим и нужно обязательно воспользоваться.

Начинать можно с любой вершины квадрата. Главное, именно угол, какой конкретно, не принципиально. Пусть обозначены точки будут слева, двигаясь направо, и сверху, перемещаясь вниз. То есть в первом ряду находятся 1, 2 и 3, второй состоит из 4, 5 и 6, а третий образован 7, 8 и 9.

Пусть начало будет находиться в первой точке. Тогда, чтобы соединить 9 точек 4 линиями, потребуется выполнить следующее.

1. Вести луч по диагонали к точкам 5 и 9.
2. На последней нужно остановиться — это конец первой линии.
3. Дальше есть два пути, они оба равноценны и приведут к одинаковому результату. Первый направится к числу 8, то есть влево. Второй — к шестерке или вверх. Пусть будет последний вариант.
4. Вторая линия начинается в точке 9 и идет через 6 и 3. Но на последней цифре она не заканчивается. Ее нужно продолжить вверх еще на такой отрезок, как если бы там была нарисована еще одна точка. Здесь будет конец второй линии.
5. Теперь снова диагональ, которая пройдет через цифры 2 и 4. Нетрудно догадаться, что второе число не является концом третьей линии. Ее нужно продолжить, как было со второй. Так закончилась третья линия.
6. Осталось провести четвертую через точки 7 и 8, которая должна закончиться в цифре 9.

На этом задание завершено и все условия соблюдены. Кому-то эта фигура напоминает зонт, а кто-то утверждает, что она — стрелка.

Если записать короче план того, как соединить 9 точек 4 линиями, то получится следующее: начать в 1, продолжить в 5, поворот в 9, провести в 6 и 3, продлить до (0), повернуть на 2 и 4, продолжить до (0), свернуть к 7, 8 и 9. Здесь (0) обозначены концы отрезков, у которых нет цифр.

В качестве заключения

Теперь можно еще поломать голову над более сложной задачкой. В ней уже 16 точек, расположенных аналогично рассмотренному заданию. И соединить их нужно уже 6 линиями.

Если и это задание оказалось по зубам, то можно попытаться решить другие, с такими же требованиями, но отличающиеся набором точек и прямых, из следующего списка:

• 25 точек в порядке квадрата, как и все последующие, и 8 прямых;
• 36 точек на 10 линий, которые не прерываются, потому что ручку нельзя отрывать от листа;
• 49 точек, соединенные 12 линиями.

Закономерности, перечисленные нами в предшествующем разделе, наиболее жестко связаны с получением интуитивного эффекта. Они отчетливо проявляются в ситуациях, объемная сложность которых минимальна, а найденный способ решения совпадает (или почти совпадает) с самим решением, т. е. не возникает необходимости в специальной реализации этого способа, связанной с превращением его в принцип. Такие задачи, оставаясь творческими, не являются проблемными. В проблемных ситуациях полученное решение одной простейшей познавательной задачи должно быть вновь использовано как принцип действия в другой, более сложной ситуации. Однако способ

действия, выработанный в итоге решения исходной задачи, вначале еще очень ограничен и непосредственно приводит к успеху только в весьма "близкой ситуации. Действия на этой ступени еще недостаточно абстрагированы. Для превращения частного способа в принцип надо углубить уровень абстракции, «отфильтровать» действие, объективно содержащее принцип, от чувственных элементов ситуации, зачастую случайных, т. е. в известном смысле формализовать интуитивно полученный эффект.

Конкретным материалом экспериментального исследования послужил специально разработанный нами цикл задач-звеньев, в основу построения которого был положен принцип решения одной из известных задач - головоломок. С некоторыми задачами этого цикла мы познакомились уже в предшествующих разделах. Здесь мы приводим их полное систематическое описание.

Простейшая и вместе с тем исходная задача этого цикла была названа задачей «трех точек» (I). Условия задачи «трех точек» таковы: соединить три точки двумя прямыми линиями, не пересекая Т-образной преграды (рис. 21).

Второй по порядку задачей была известная нам «4 точки» (II).

Третьей была только что описанная в предшествующем разделе задача «9 точек» (III) 4 .

Четвертая задача - также знакомая нам - «16 точек» (IV).

Пятая задача - «25 точек» (V): даны 25 точек; требуется провести через эти точки, не отрывая карандаша от бумаги, восемь прямых линий.

Шестая задача - «36 точек» (VI): даны 36 точек; требуется провести через эти точки, не отрывая карандаша от бумаги, 10 прямых линий.

Седьмая задача - «49 точек» (VII): даны 49 точек; требуется провести через эти точки, не отрывая карандаша от бумаги, 12 прямых линий.

Легко заметить, что серия подобных задач может быть продолжена беспредельно. При этом необходимо руководствоваться следующей закономерностью: количество точек должно соответствовать квадратам натурального ряда чисел; количество ли-

4 Требование «возвратиться в исходную точку» необходимо лишь для задачи «4 точки». Для всех других задач оно излишне.

ний, которыми необходимо соединить точки, должно возрастать на две, соответственно каждому квадрату. Во всех случаях это количество линий будет составлять предел; меньшим числом, не нарушая требований условия задачи, соединить точки невозможно.

Нужное число линий соответственно избранному количеству точек легко определить, пользуясь уравнением

где у - количество линий, а х - количество точек, нарастающее как квадраты натурального ряда чисел (9, 16, 25, 36, 49, 64,81, 100, 122, 144 и т.д.).

Соответственно данной закономерности мы могли использовать задачи: «64 точки» (VIII); «81 точка» (IX); «100 точек» (X); «122 точки» (XI); «144 точки» (XII) и т. д.

В цедом цикл задач можно было рассматривать как сложную познавательную задачу - проблему. Однако эта проблема давалась испытуемым не сразу (например, «144 точки»), а по отдельным задачам - звеньям. Решение первого звена («3 точки») раскрывало исходный принцип («выйти за пределы плоскости, ограниченной точками»), пронизывающий весь последующий путь «восхождения».

Взрослым испытуемым одна за другой предъявлялись задачи данного цикла (I, II, III, IV, V, VI, VII и т. д.) до тех пор, пока испытуемый не вскрывал принцип, удовлетворяющий решению любого звена, т. е. пока не решалась вся сложная познавательная задача.

В других сериях опытов наряду с данной методикой использовались разного рода образующие задачи с последующим учетом их эффективности как по линии прямого, так и по линии побочного продукта.

Прежде всего был прослежен общий ход решения задач данного цикла, т. е. последовательное решение сложной познавательной задачи.

Решение задачи «-точки». Наиболее простой в познавательном отношении среди всех прочих задач является задача «3 точки». В этой задаче нахождение решения полностью совпадает с самим решением, поскольку необходимость в какой-либо конкретизации найденного принципа, его уточнения для применения к данным конкретным условиям задачи полностью отсутствует. Эта задача была бы наиболее удачным объектом для изучения интуитивных решений. Однако в этом отношении ей присущ недостаток: принцип выйти за пределы участка плоскости, ограниченного точками, перекрывается более простым приемом - возможностью соединить три точки просто двумя прямыми, не выходя при этом за указанные пределы. Поэтому для образования психологической трудности данная задача нуждается в усложнении условий, выражающемся во введении

Т-образной преграды, исключающей эту перекрывающую данный принцип возможность.

Как правило, задача «3 точки» (с Т-образной преградой) решается без помощи специальной образующей задачи. Дело в том, что, действуя согласно дополнительным ориентирам (Т-образная преграда), испытуемый сам строит в данной ситуации образующую задачу, решение которой совпадает с решением выявляющей задачи, а побочный продукт в таких условиях во

всех случаях совпадает с прямым продуктом, поскольку, действуя по ориентирам, испытуемый не имеет конкретного замысла плана решения, а ориентиры как бы ведут его к нему.

Наиболее часто решение задачи «3 точки» испытуемыми строится по схеме, изображенной на рис. 22. Вначале используются не две данные линии, а три (одна прямая превращается в ломаную). Концы этой линии соединяются с окончанием преграды (рис. 22, а), затем чертеж принимает вид, изображенный на рис. 22, б, в, и лишь далее, после многих других попыток, находится решение (рис. 22,г).

Если использовать эту задачу в образующей функции и предварить ею «4 точки», то последняя легко решается, даже если образующая задача «3 точки» дается без стимулирующей, т. е. при прямом порядке предъявления. Отсюда следует, что данная задача («3 точки») встает по отношению к задаче «4 точки» в иное отношение, чем все ранее встречавшиеся образующие задачи. Дело в том, что, как мы уже отмечали, конечный маршрут руки испытуемого, являющийся ключом к решению «4 точек», выступает здесь уже не как побочный, а как прямой продукт действия: сама задача «3 точки» выполняет и стимулирующую и образующую функции.

В результате решения задачи «3 точки» испытуемый вырабатывает исходный принцип решения всего цикла задач с нарастающим количеством точек.

Особенностью задачи «3 точки», как мы уже отмечали, является то, что в ее условие вводится дополнение - преграда, конец которой рассматривается испытуемым как дополнительная точка, с которой он и соединяет первую проведенную им линию (по принципу элементарного соединения). Далее, анализируя задачу с помощью элементарного приема (соединение точек по кратчайшему расстоянию), испытуемый приходит к тому, что выравнивает ломаную линию.

После этого поиск организуется за внутренними пределами фигуры, образуемой точками, что дает возможность перенести наличный способ «элементарного объединения» в несколько иные условия. Наконец испытуемый, выделив первый угол как еще одну точку, связывает его с третьей и в результате достигает решения.

Опыт показывает, что если испытуемый не знает принципа решения, то задачу типа «4 точек» он может решить лишь в

том случае, если имеются ориентиры, лежащие вне фигуры, образуемой прямым соединением точек, в зоне которых испытуемый должен действовать. В данном случае, т. е. когда испытуемый решает задачу «3 точки», наличие преграды, требование обойти преграду приводят к необходимости вырваться за пределы фигуры, образуемой точками, причем удачная попытка закрепляется. Таким образом, вырабатывается способ действия, который затем может быть перенесен на решение задачи «4 точки».

Роль особенностей взаимодействия субъекта с объектом, обусловливающих возможность выработки нового способа действия, отчетливо выступает в том случае, если сравнить задачу «3 точки» с другой, внешне совершенно аналогичной: требуется соединить четыре точки, расположенные, как это изображено на рис. 23, двумя связанными прямыми. В результате этого упражнения никогда нельзя добиться непосредственной выработки способа, при помощи которого испытуемый смог бы решить задачу «4 точки».

Итак, действуя по ориентирам путем «элементарного объединения» в ситуации, детерминирующей особое содержание взаимодействия субъекта с объектом, испытуемый вырабатывает способ действия, как бы впитывающий в себя содержание ситуации, в которой он вырабатывается.

В дальнейших опытах этой серии испытуемого, решившего задачу «3 точки», обращали к следующей задаче - к «4 точкам». Особенности решения этой задачи-звена нами уже неоднократно описывались. Добавим лишь одно: обращаясь к задаче «4 точки», после решения «3 точек» испытуемый почти немедленно находил верное решение, поскольку реализация принципа не составляла в данном случае особого затруднения.

После решения «4 точек» испытуемый обращался к следующей задаче-звену цикла - к «9 точкам».

Решение задачи «9 точек». Приведем протоколы решения этой задачи двумя испытуемыми (рис. 24, а, б).

Как видно из протокола, первый испытуемый (В.) нашел решение задачи на 22-й попытке, а испытуемый Н. - на 16-й.

Испытуемым, решившим задачу «9 точек», ставилась задача «16 точек» (в дальнейшем мы будем приводить протоколы решений последующих задач теми же самыми испытуемым) (рис. 25,а,б).

В задаче «16 точек» первый испытуемый (В.) достиг решения на 18-й попытке: второй (Н.) - на 12-й.

Рис. 25

За задачей «16 точек» следовала задача «25 точек» (рис. 26,а,б).

В этой задаче испытуемый В. достиг решения на 6-й попытке, а испытуемый Н. - на 12-й.

Приводим протоколы решений следующей задачи-звена (рис. 27,а, б).

В случае задачи «36 точек» испытуемый В. добился решения на 10-й попытке, испытуемый Н. - на 7-й.

Задачу «49 точек» испытуемый В. решил на 2-й попытке, испытуемый Н. - на 4-й (рис. 28,а, б).

Задачу «64 точки» оба испытуемых решили с первой попытки (рис. 29,а,б).

Вслед за нахождением решения задачи «64 точки» (с первой же попытки) обоим испытуемым была предъявлена контрольная задача «144 точки» (рис. 30,а,б).

Решение контрольной задачи так же, как и предшествующей, было достигнуто с первой же попытки.

Таким образом, являясь звеном широкой познавательной задачи, каждая задача-звено сама по себе представляет самостоятельную мыслительную задачу. Процесс решения этой задачи, конечный продукт которого становится новой функциональной ступенью развития принципа, сам протекает по внутренним структурным уровням, дифференцируясь на ряд своеобразных процессов взаимодействия, продукты которого становятся условиями внутреннего развития и определяют течение

новых процессов. Во внутреннем развитии обнаруживается ряд стадий (число которых в разных случаях неодинаково). Наиболее характерны из них следующие: а) рациональное использование результата решения предшествующей задачи; б) отказ от избранного пути и переход к «стихийному» манипулированию посредством элементарных, неосознаваемых эмпирически обобщенных приемов; в) возвращение к исходному принципу («выйти за пределы») - прилаживание рационально используемого принципа посредством неосознаваемых эмпирически обобщенных элементарных процессов; г) решение задачи.

Исп. И Рис. 28

И en. В Рис. 29

Рис. 30

а - результат решений задачи «3 точки»; б - результат решения задачи «4 точки»; о, г -~ первая и вторая попытки решения задачи «9 точек», характерные для одной группы испытуемых (прямой угол в зоне А); д, е - первая и вторая попытки решеннч задачи «9 точек», характерные для другой группы испытуемых (прямой угол в зоне С).

Рассмотрим каждую из этих стадий.

Рациональное использование результата решения предшествующей задачи. У подавляющего большинства испытуемых ориентировка в ситуации каждой следующей задачи-звена на первом этапе определяется прямым продуктом действия в ситуации предшествующей задачи. Иначе говоря, на первом этапе испытуемые, как правило, осуществляют непосредственный перенос этого продукта в условия новой задачи; ранее полученный результат решения выступает теперь как способ решения; продукт переходит в процесс.

В задаче «4 точки» эта первая стадия обычно совпадает с решением и поэтому не выступает здесь со всей отчетливостью. Наиболее характерно эта стадия выявляется при анализе решения задач «9 точек», «16 точек», «25 точек», «36 точек», а иногда и «49 точек», т. е. там, где полученный в решении задачи «3 точки» принцип нуждается в специальной конкретизации.

Так, например, в задаче «9 точек» первые поиски испытуемыми решения этой задачи поразительно однотипны.

В подавляющем большинстве случаев чертежи двух первых попыток оказываются совершенно аналогичными (рис. 31).

Каждый из этих чертежей представляет собой наглядно выраженный перенос результата решения предшествующей задачи.

Следует отметить, что графическое выражение этого переноса имеет некоторое своеобразие по сравнению с попытками решения задачи «4 точки». Это своеобразие состоит в следующем.

Как видно из рис. 31, при выявлении принципа решения в ситуации «3 точек» все испытуемые, подчиняясь особенностям

а - предшествующее решение задачи «9 точек»; б - первая, вторая и третья попытки решения задачи «16 точек» (вторая группа испытуемых). На рисунке показана лишь небольшая часть вариантов

а - решение задачи «19 точек»; б - первые попытки решения задачи «25 точек»

й - решение задачи «25 точек»; б - первые попытки решения задачи «36 точек»

a - решение задачи «36 точек»; б - первые попытки решения задачи «49 точек»

условий, ориентируют острый угол, образуемый двумя заданными прямыми, в той части пространства, которая выделена нами как зона «С». Точно такую же ориентировку острого угла мы обнаруживаем и в чертеже решения задачи «4 точки». Соответственно этому и прямой угол в чертеже решения данной задачи оказывается сориентированным в зоне «А». При переносе принципа решения задачи «4 точки» в ситуацию «9 точек» наблюдается некоторая вариативность построения чертежа: одна часть испытуемых ориентирует прямой угол точно таким же образом, как это делалось в ситуации «4 точек», т. е. в зоне «А», однако другая часть испытуемых изменяет пространственное ориентирование этого угла, помещая его в зону «С».

Аналогичная картина наблюдается и при анализе решения следующих задач-звеньев (рис. 32-35).

По мере продвижения испытуемых по системе задач-звеньев отмеченная нами вариативность переноса несколько видоизменяется, характер переносимого чертежа стабилизируется. Каждый из испытуемых вырабатывает какой-либо один из двух возможных принципов решения задачи (см. рис. 33-35) и строго его придерживается в дальнейшем. Как показывают данные опытов, переключение испытуемого с одного принципа решения на другой в этих условиях оказывается практически невозможным.

Обнаруженные факты говорят о том, что, получив в итоге решения задачи «3 точки» принцип решения всей цепи задач, испытуемые еще не осознают с полной отчетливостью значимости этого принципа и не вычленяют его из всей совокупности условий ситуации. Недостаточное осознание значимости принципа и проявляется в том, что чертеж решения задачи «4 точки» точно копирует пространственную планировку расположения линий на чертеже решения «3 точек». У некоторых испытуемых это явление распространяется и на решение последующей задачи - «9 точек». Однако другие испытуемые, переходя к решению задачи «4 точки» и достигая этого решения, осознают значимость принципа, с которым им приходится иметь дело. В результате такого осознания испытуемые в какой-то степени абстрагируют этот принцип от конкретных особенностей ситуации и фиксируют его в выражении «необходимо вырваться». В дальнейшем это выражение становится руководством к действию. Рассуждения испытуемых по ходу решения задачи раскрывают, чем мотивируется переориентировка пространственного расположения чертежа решения - испытуемые прежде всего стремятся реализовать условие «необходимо вырваться», поэтому построение чертежа (при решении задачи «9 точек») и начинается в ряде случаев не из точки, находящейся в зоне «А», как это было в ситуации предшествующей задачи («4 точки»), а немедленно выходит за пределы участка, ограниченного точками.

Отказ от избранного пути и переход к «стихийному» манипулированию посредством элементарных, неосознаваемых, эмпирически обобщенных приемов. Первая стадия решения завершается отказом от избранного пути и переходом к тому стихийному манипулированию в участке площади, ограниченном точками, которое чрезвычайно характерно для действий испытуемых, незнакомых с принципом решения предшествующей задачи-звена (эта стадия характерна для задач «9 точек» и «16 точек»).

На рис. 36 приводятся образцы такого манипулирования.

Переход от первой стадии ко второй. Используемый на первой стадии решения мыслительной задачи способ действия, являясь адекватным условию задачи, требует, однако, дополнительной конкретизации и развития, поэтому данный способ действия непосредственно не удовлетворяет особенности ситуации.

а - попытки решения задачи «9 точек», б - попытки решения задачи «16 точек»

Новый продукт, возникающий в итоге попытки решения задачи (мы имеем в виду задачу «9 точек»), лишь в первом случае (при первой попытке) отсекает один из возможных вариантов и открывает некоторую (кажущуюся) перспективу (пересечение гипотенузой сразу двух точек), что и осуществляется в следующей попытке. Опирающееся на продукт первой попытки решения последующее действие приводит уже к бесперспективному продукту. Вопрос о путях, по которым осуществляется переход от первой стадии ко второй, еще далеко не выяснен (возможно, что здесь несколько своеобразных путей).

Следует думать, что ведущую роль в этой смене нельзя приписывать ни одному лишь субъекту, ни одному лишь объекту - причиной является именно само взаимодействие субъекта с объектом. .Субъект деформирует исходную ситуацию. Однако эффект этой деформации определяется не только способом действия субъекта, но и особенностями объекта, на который направлено действие, т. е. взаимодействием субъекта и объекта.

Другой характерной особенностью этого перехода является то обстоятельство, что, варьируя чертеж, испытуемые, как правило, не отдают себе ясного отчета о подлинных причинах своих действий, они оценивают лишь их эффект.

Тот факт, что вторая стадия во всех случаях представлена попытками добиться решения путем элементарного объединения точек по кратчайшему расстоянию, не вызывает удивления. Ситуация данной задачи актуализирует у испытуемых лишь один специфический прием. И если этот прием отпадает, его, естественно, заменяет «универсальный метод», который в данном случае «не имеет себе конкурентов».

Возвращение к исходному принципу («выйти за пределы») - прилаживание рационально используемого принципа посредством неосознаваемых эмпирически обобщенных приемов. Вторая стадия обычно завершается после 3-10 попыток. Механизм этой стадии во многом совпадает с механизмом предшествующей. Различия заключаются лишь в способе, которым оперирует субъект. Но, как и на предыдущей стадии, способ второй стадии не приводит к желаемому результату. Действия испытуемого обнаруживают бесперспективность поиска. Динамика ситуации гаснет. Вновь возникает тот критический момент, та некоторая неопределенность в выборе пути дальнейших попыток, некоторая «расшатанность» ситуации, которая характерна для кульминационного момента применения того или иного способа действия, т. е. вновь возникают условия, благоприятствующие смене способа действия.

Как показывают данные экспериментов, на третьей стадии испытуемый вновь использует тот способ действия, которым он уже оперировал на первой стадии. (Как и следовало ожидать, поскольку в опыте большинства испытуемых вообще нет иных способов, которые могли бы быть актуализированы данной ситуацией.) Однако теперь в операциях обнаруживается и нечто новое. Во-первых, уже нет того точного, буквального перенесения чертежа решения предшествующей задачи (хотя в первых попытках этого этапа у некоторых испытуемых такое буквальное перенесение все еще имело место). Видимо, первая и вторая стадии не пропали даром, они способствовали углублению абстракции принципа решения, полученного в предшествующей задаче. На третьей стадии испытуемые руководствуются лишь одним требованием - «вырваться за пределы». Это отчетливо выступает на чертежах попыток решения (рис. 37) - третий этап характеризуется лаконичностью проб, которые нередко состоят всего из двух линий.

Приведем в качестве примера чертежи попыток решения на третьем этапе в условиях задачи «9 точек» (рис. 37). Как видно из чертежей, испытуемый стремится рационально использовать выявившийся принцип решения и ищет его адекватное применение. Однако, не имея специального способа (метода) организации такого поиска, он вновь неосознанно прибегает к «универсальному» приему манипулирования по ориентирам, т. е. прилаживает данный принцип к ситуации задачи посредством неосознаваемых эмпирически обобщенных приемов. Таким образом, оба использованных ранее способа оказываются объединенными, и это придает качественно иной характер действию, поскольку оно оказывается адекватным данному комплексу условий ситуации.

Третья стадия подготавливает решение, а иногда и завершается им (в том случае, когда решение достигается совершенно внезапно, благодаря удачному стечению обстоятельств). Более подготовленное решение складывается на четвертой стадии.

Решение. Выделение четвертой стадии как относительно самостоятельной оправдывается тем, что способ действия на этой стадии приобретает у некоторых испытуемых иное качество. В определенный момент испытуемый, отправляясь от имевших место процессов манипулирования, начинает не только

Рис. 37

стихийно прилаживать выявившийся принцип, а организует осознаваемый целенаправленный анализ ситуации (особенностью такого анализа является, однако, то, что осознаваемым в нем оказывается лишь оценка полученного результата, а сам процесс продуцирования, как и в предшествующих случаях, остается неосознаваемым).

В ходе такого рода манипуляций наглядный компонент задачи дифференцируется на определенного рода группы точек; путем объединения этих групп элементарным приемом (соединение точек по кратчайшему расстоянию) достигается решение.

Для иллюстрации этого положения проанализируем протоколы опытов.

На чертежах (рис. 38) отчетливо запечатлелись пути анализа испытуемым задачи «16 точек». «Накладывая» на эти точки чертеж решения задачи «9 точек», испытуемый разбил весь комплекс «16 точек» на две подгруппы и объединил их затем путем «элементарного соединения».

Противоположный по форме, но тождественный по своему смыслу факт ясно выступил и в том случае, когда один из испытуемых не смог решить эту задачу самостоятельно.

Приводим протокол опыта.

Решение задачи «9 точек» испытуемому известно.

Задача «4 точки» (рис. 39,а).

Рис. 38. Решение задачи «9 точек» испытуемому известно

Рис. 40

Задача «9 точек» (рис. 39,6).

Испытуемому предлагается задача «16 точек» (рис. 40).

Испытуемый признал задачу нерешаемой.

Предлагается дифференцирующая таблица (рис. 41).

С помощью этой таблицы испытуемый нашел решение при первой же попытке.

С решением задачи «9 точек» испытуемый ознакомился примерно за год до данных опытов и сразу вспомнить его не мог.

Рис.41 ®®®

Однако «4 точки» были решены испытуемым за 1,5 минуты, после чего на решение задачи «9 точек» испытуемый потратил менее одной минуты (т. е. решение практически наступило «с места»). Затем испытуемому была предложена задача «16 точек». В двух первых попытках испытуемый полностью перенес чертеж решения задачи «9 точек», однако, убедившись в том, что это не приводит к успеху, он отказался от такого переноса и «замкнулся» в участке площади, ограниченном точками. Далее второй стадии решения испытуемый не продвинулся. После

14 неудачных попыток (не выходящих по своему содержанию за пределы второго этапа), потратив на поиски решения 20 минут, испытуемый отказался от задачи, признав ее нерешаемой.

Тогда ему была предложена так называемая дифференцирующая таблица, содержащая те же 16 точек, но с таким изменением: 9 точек (3X3) на этой таблице были нанесены красной тушью, а остальные - черной (см. рисунок дифференцирующей таблицы - рис. 41, приведенный в протоколе опытов с данным испытуемым). С помощью дифференцирующей таблицы испытуемый менее чем через 1 минуту нашел решение («с места»). Опыт показал, чего «не хватало» для решения, что необходимо было увидеть на чертеже и что испытуемый не смог получить самостоятельно, как это было сделано в предшествующем случае.

Характеризуя все выделенные нами стадии в целом, необходимо отметить следующее. Длительность каждой стадии определяется особенностями динамики ситуации. Определенный тип манипулирования сохраняется до тех пор, пока ситуация остается динамичной, т. е. пока сохраняется некоторая вариативность попыток. Как только появляются повторения и новизна, вносимая действием в ситуацию, исчезает, в ходе решения наступает перелом, приводящий либо к отказу от решения, либо к переходу к новой стадии, т. е. к коренному изменению способа действия.

Решение каждой из промежуточных задач-звеньев строится по одному и тому же принципу, с той лишь разницей, что по мере продвижения по цепи задач количество манипуляций постепенно сокращается. Для иллюстрации этой закономерности приводим пример среднего количества попыток, сделанных 30 испытуемыми при решении цепи задач-звеньев.

Таким образом, в большинстве случаев задача «81 точка» решается с первой же попытки. Здесь испытуемые, как правило, по собственной инициативе словесно формулировали принцип решения: «Прежде необходимо вычеркнуть все лишние точки, а затем решить задачу «9 точек». Если после этого испытуемому давалась контрольная задача «144 точки», то она решалась с первой же попытки. У испытуемого складывалась способность решить «с места» любую подобную задачу вне зависимости от избранного количества точек и без опоры на наглядный компонент (в словесном плане), т. е. окончательно вырабатывался принцип решения данной задачи. В проведенных опытах обнаружилась очень большая вариативность показателей у различных испытуемых. Однако у всех ясно выступила тенденция к снижению числа попыток при переходе к каждой последующей задаче (несмотря на постоянное возрастание объективной сложности задачи). Закономерным оказался и тот факт, что для решения контрольной задачи («144 точки») каждый испытуемый проходил не менее 6-7 предшествующих задач.

Поскольку место каждого звена в ряду данного цикла задач (начиная со второй) определяется чисто объективными количественными зависимостями, решено было исследовать, насколько необходимо при развитии принципа двигаться именно по этой цепи. Для этого надо было выяснить, к чему приведет исключение некоторых отдельных звеньев.

В посвященной этому серии опытов использовалась следующая методика.

Различным группам испытуемых (по пять человек в каждой) были предложены следующие «неполные» циклы задач:

Первый цикл - задачи I, II, IV, V и г. д. (опущена задача «9 точек»).

Второй цикл - задачи I, II, III, V, VI и т. д. (опущена задача «16 точек»);

Третий цикл -задачи I, II, III, IV, VI, VII и т. д. (опущена задача «25 точек»);

Четвертый цикл -задачи I, II, III, IV, V, VII, VIII и т. д. (опущена задача «36 точек»).

В качестве показателей трудности решения того или иного цикла использовались: во-первых, количество испытуемых, решивших данный цикл (из общего числа группы в пять человек), во-вторых, среднее количество попыток, необходимых испытуемым для решения тех задач-звеньев, которые следовали за пропущенным звеном. Это количество попыток сопоставлялось с теми средними данными, которые были получены при «нормальном» цикле на 30 испытуемых в предшествующей серии опытов.

Результаты, полученные во второй серии опытов, представлены в табл. 1.

Как видно из таблицы, по сравнению с полным циклом трудность сокращенного (неполного) цикла значительно возрастает. Причем первый цикл, в котором была опущена задача «9 точек», оказался самым трудным. В условиях данных опытов (при которых время решения каждого звена ограничивалось 30 минутами) ни один из испытуемых не нашел решения. В остальных циклах по мере удаления опущенной задачи от начала ряда трудность постепенно снижалась.

Таким образом, было установлено, что полный цикл задач представляет оптимальные условия для развития принципа решения. Это положение имело особый интерес, так как объективно принцип решения любой задачи в законченной форме имелся уже в решении задачи «16 точек».

Таблица 1

Примечание. 1 - среднее количество попыток решения, имевшее место у 30 испытуемых (данные первой серии опытов); а - количество испытуемых, решивших данный цикл (из 5 человек); б - среднее количество попыток у всех испытуемых, решивших данный цикл.

Однако способ действия, выработанный в результате решения этой задачи, был еще очень ограниченным и непосредственно приводил к успеху только в весьма близкой ситуации (задачи «25 точек»). Действия испытуемых на этой ступени были еще скованы чувственной стороной, они не были достаточно абстрагированы. Для превращения частного способа в принцип необходимо было углубить уровень абстракции, «отфильтровать» действие, объективно выражающее принцип, от направляющих его чувственных элементов ситуации, зачастую случайных. Такая «фильтрация» и осуществлялась в решении последующих задач.

Данные опыты наталкивают на мысль о зависимости выработки принципа решения от включения испытуемого в условия более широкой, или, как мы говорим, перспективной задачи, в которой результат предшествующего решения выступает уже как операция, как способ действия.

Было установлено, что для успешного выявления общего принципа решения задач используемого цикла необходимо, чтобы этот цикл был полным (особенно в его первых 4-5 звеньях). Этот факт нельзя объяснить лишь самим разрывом между задачами.

Пропуск какого-либо звена приводит, конечно, к усложнению условий переноса в связи с увеличением числа возможных вариантов попыток. Это обстоятельство, конечно, играет определенную роль, но данная причина не может быть единственной, поскольку пропуск более отставленных звеньев (начиная от задачи «25 точек» и далее) не вызывает уже у испытуемого особых затруднений в решении очередной задачи сокращенного цикла, хотя объективно сложность каждой последующей задачи увеличивается в геометрической прогрессии. Видимо, важное значение здесь имеет характеристика самого способа, которым пользуется субъект.

Естественно было предположить, что пропуск тех или других звеньев в начале цепи (пока принцип действия был еще не окончательно выявленным) оказывал столь отрицательное влияние потому, что эти звенья необходимы для выявления принципа и при их выпадении принцип, заключенный в решении предшествующей задачи, оказывался недостаточно выявленным. Это и вызывает иногда непреодолимую трудность при решении последующей задачи. Следовательно, для выявления принципа необходимо включение испытуемого в условия более широкой (перспективной) задачи, однако эта задача не должна содержать в себе слишком большие трудности, связанные с конкретизацией принципа.

Таким образом, в результате проведенных опытов нам удалось выделить одно из условий, способствующих абстрагированию способа действия, а тем самым и развитию принципа решения. Таким условием явилось включение испытуемого в ситуацию перспективной, т. е. более широкой задачи, в которой результат решения предшествующей задачи должен был использоваться как способ решения.

В дальнейших опытах мы исследовали другие условия, также способствующие абстрагированию способа действия от частных элементов конкретной ситуации, в которой это действие было впервые осуществлено.

Раньше нами уже подчеркивалось то обстоятельство, что для осознания использованного в решении практической задачи способа действия, а следовательно, и для выявления принципа решения перед испытуемым должна быть поставлена теоретическая задача. Естественно, что выявление и осознание способа действия в какой-то мере уже предполагает его абстракцию. Отсюда следовало, что постановка теоретической задачи должна явиться одним из условий абстрагирования способа действия.

Для выявления этой зависимости был использован следующий методический прием. Испытуемый имел дело с обычным («полным») циклом задач-звеньев.

Однако первая задача-звено («3 точки») не давалась испытуемому для самостоятельного решения, а объяснялась экспериментатором.

Объяснения проводились примерно так. «Нам дана задача соединить три точки двумя прямыми, не пересекая преграды. Посмотрите: кратчайшим путем этого осуществить нельзя. Используем другую возможность - проведем линию вниз и обойдем преграду».

Непосредственно после такого объяснения решения задачи «3 точки» испытуемому давалась задача «4 точки». Обычная для этой задачи инструкция была видоизменена. Экспериментатор говорил испытуемому: «Теперь дополним три точки еще одной- четвертой - и удалим преграду. Попробуйте соединить все эти точки, не отрывая карандаша от бумаги, так, чтобы ка рандаш возвратился в исходную точку. Что вполне возможно, необходимо лишь дополнить чертеж (соединения трех точек с преградой) в правой верхней части».

Вслед за этим испытуемый без всяких затруднений находил верное решение задачи «4 точки».

Таким образом, испытуемый в какой-то мере знакомился с исходным принципом решения цикла задач-звеньев. Однако поскольку в ситуации данных задач его собственная активность была сведена почти до минимума, можно было предполагать, что выявленный испытуемым принцип был весьма мало абстрагирован от конкретной оболочки ситуации.

После такой подготовки мы вводили в опыт задачу «9 точек», предлагая ее испытуемому для самостоятельного решения.

Всего в этой серии нами было проведено 7 опытов (с 7 испытуемыми). Из этих 7 опытов удалось отобрать 4 случая (4 опыта с 2 испытуемыми), которые удовлетворяли замыслу данных экспериментов.

В указанных 4 случаях испытуемые, сделав по 8-12 безуспешных попыток решить задачу «9 точек», отказались продолжать решение, признав задачу нерешаемой. Сравнивая эти показатели с теми, которые были нами получены в опытах, где активность испытуемых в решении предшествующих задач («3 точки» и «4 точки») ничем не ограничивалась, можно было сделать вывод, что причиной неуспеха испытуемых в данного рода опытах являлось именно ограничение активности.

Поскольку, с нашей точки зрения, лишение испытуемых необходимой для успеха активности оказало отрицательное влияние прежде всего на абстрагирование принципа решения в ситуации предшествующих задач, нами был сделан вывод, что одним из условий успеха такого абстрагирования является активность, самостоятельность действий испытуемого в проблемной ситуации 5 .

Задача описываемых опытов не сводилась лишь к выявлению фактора активности. Продолжая опыты, мы рассчитывали обнаружить плодотворное влияние на абстрагирование принципа со стороны поставленной перед испытуемым теоретической задачи.

Нам казалось, что, даже действуя в ситуации задачи «9 точек», при определенных условиях испытуемый будет способен

Поскольку такой вывод казался нам теоретически очевидным и даже банальным, мы не сочли необходимым дальнейший фактический экспериментальный анализ его посылок (отдавая себе, конечно, отчет в том, что для такого вывода сам по себе полученный нами фактический материал еще не дает достаточного основания).

абстрагировать в какой-то мере тот принцип, который был ему дан в решении предшествующих задач, и если такая абстракция произойдет, она должна будет привести испытуемого к решению задачи «9 точек» (если наше предположение, связывающее неуспех испытуемых с недостаточной абстракцией принципа при решении предшествующих задач, было правильным).

Чтобы придать постановке теоретической задачи максимальную естественность, было решено использовать для этого общение испытуемого с экспериментатором. Беседуя с испытуемыми, отказавшимися продолжать поиски решения «9 точек», экспериментатор просил их дать объяснения только что проделанным неудачным попыткам решения. При этом испытуемым задавался вопрос: «Почему Вы именно так решали задачу?»

В первый момент этот вопрос у всех четырех испытуемых вызывал явное недоумение - ни один из них не смог быстро найти даже какой-либо удовлетворительной мотивировки.

Тогда экспериментатор просил испытуемых объяснить, почему именно так проведена каждая отдельная линия. Испытуемые (все четверо вели себя совершенно одинаково), несколько освоившись с вопросом, начинали придумывать мотивировки, вначале весьма отдаленные, как нам казалось, от истинного положения вещей. Однако таким образом они включились в ситуацию теоретической задачи.

Как показали опыты, такое включение довольно быстро привело к положительному эффекту. Все четверо нашли решение задачи «9 точек» при анализе всего лишь 3-4-го чертежа попыток решения.

При этом испытуемые заявляли, что, думая о том, зачем им понадобилось провести ту или другую линию, они неожиданно замечали, как можно решить задачу. Вместе с тем такое «озарение», по мнению испытуемых, было столь мимолетным, что ответить на вопрос, как все же удалось решить задачу, не было возможности, несмотря на то, что сама задача и ее решение становились для испытуемых совершенно ясными.

Последующие действия этих испытуемых в ситуации дальнейших задач-звеньев цикла показали, что эти действия ничем не отличались от действий испытуемых, решавших цикл обычным путем, т. е. без всякого ограничения активности. Количество попыток решения, допущенное теми и другими категориями испытуемых, было примерно равным. Отсюда следовало, что постановка теоретической задачи привела примерно к тому же эффекту абстрагирования принципа, к которому приводила и активная деятельность испытуемых в ситуации предшествующих задач.

Таким образом, у нас появились основания рассматривать постановку теоретической задачи как одно из условий успеха абстрагирования принципа решения и тем самым его развития.

Для выявления дальнейших условий, способствующих абстрагированию принципа решения, нами был использован переход от третьего звена цикла к четвертому (т. е. от решения задачи «9 точек» к задаче «16 точек»).

Исходя из уже сказанного ранее надо было считать, что успех решения «16 точек» находится в определенной зависимости от степени абстракции принципа решения «9 точек».

Данное положение было прежде всего подтверждено экспериментально. Для этого также был использован метод ограничения активности испытуемых. Однако, если в предшествующих опытах активность испытуемых ограничивалась лишь при решении двух первых задач цикла («3 точки» и «4 точки»), то теперь мы распространили это ограничение и на третью задачу, т. е. на «9 точек». Эта задача, как и предшествующие, не решалась испытуемым активно - экспериментатор просто показывал ее решение в готовом виде. После такого показа испытуемые должны были решать задачу «16 точек».

Как показали опыты, ни один из испытуемых в таких условиях не смог найти решение «16 точек». Было очевидно, что при показе испытуемым решения задачи «9 точек» никому из них не удалось в достаточной мере абстрагировать принцип ее решения.

Добиться необходимой абстракции этого принципа было бы очень просто, если бы мы решили воспользоваться обучением. Для этого было бы достаточно подсказать испытуемым какую-либо формулировку, например: «Соединяя точки, руководствуйтесь следующим правилом: сначала три вниз, а затем две вбок; можно начинать и с диагонали». Однако нас интересовали вопросы творческого решения, поэтому мы и отыскивали пути, способствующие абстрагированию, которыми бы испытуемый мог воспользоваться без прямого обучения. С таким замыслом был использован следующий методический прием.

Те испытуемые, которые отказались продолжать поиски решения задачи «16 точек», должны были возвратиться к задаче «9 точек», но решать ее не обычным образом, как это делали все прочие испытуемые, а с некоторым видоизменением. Экспериментатор указывал испытуемым расположение и направление первой линии, с которой испытуемый должен был начинать построение чертежа. Несмотря на то что решение задачи «9 точек» было испытуемым уже дано, новое задание оказалось весьма трудно выполнимым. Это подтверждало то, что, зная способ решения, испытуемые еще не владели им полностью.

С целью создания условий для полного овладения этим способом мы предлагали испытуемым выполнить 12 решений задачи «9 точек», используя специальную таблицу (рис. 42). На таблице было нанесено 12 комплексов точек (по 9 точек в каждом) и у каждого комплекса была указана линия, которой необходимо было воспользоваться, начиная построение чертежа.

Рис. 42. Таблица вариантов решения «9 точек»

На выполнение первых 4-5 построений испытуемые затрачивали сравнительно много времени, остальные построения проделыва-лись значительно быстрее. После того как испытуемый выполнял все 12 построений, ему вновь предлагалась задача «16 точек». На этот раз решение «16 точек» наступало очень скоро 6 .

Такой прием, стимулирующий у испытуемого абстрагирование принципа, оказался весьма эффективным. Это было специально нами показано в опытах с другой группой испытуемых, также состоящей из 5 человек. Новые испытуемые выполняли 12 предваряющих построений вариантов решения «9 точек» еще до того, как им была предложена задача «16 точек» (первые две задачи давались точно так же, как и в предшествующем случае, т. е. с ограничением активности). Все эти 5 испытуемых, выполнивших предварительное построение вариантов решения «9 точек», находили решение «16 точек» после четвертой, иногда пятой попытки. Такой результат был, несомненно, значительно успешнее обычных результатов, с которыми мы сталкивались при «естественном» пути решения цикла (15-20 попыток).

Эффективность описанного приема было решено сопоставить с эффективностью других возможных приемов. Для такого сопоставления были использованы следующие способы.

Необходимо отметить, что некоторые испытуемые в ходе построения различных вариантов решения задачи «9 точек» сами ставили теоретическую задачу, анализировали под ее влиянием ситуацию и словесно формулировали принцип построения. Эти формулировки были различны у каждого испытуемого, но в общем все они напоминали ту, о которой мы уже говорили («сначала три вниз, затем две вбок; можно начинать и с диагонали»).

1. Прием обучения, при котором 5 испытуемым после показа решения «9 точек» (две первые задачи цикла также давались с ограничением активности) сообщалась выявляющая принцип формулировка («две вниз, три вбок; можно начинать и с диагонали»).

2. Прием предварительной автоматизации действия, где 5 испытуемых (при тех же предварительных условиях) раньше, чем приступить к решению задачи «16 точек», должны были 12 раз повторить решение задачи «9 точек», но не из разных положений, т. е. не варьируя чертежа, а повторяя один и тот же его вариант, показанный вначале экспериментатором.

3. Комбинированный прием, в котором сообщение формулировки (первый прием) сочеталось с автоматизацией построения решения в одном варианте (второй прием).

4. Второй комбинированный прием, в котором сообщение формулировки сочеталось с однократным построением двух чертежей решения задачи «9 точек» по двум различным вариантам.

Индикатором эффективности каждого приема служило среднее количество попыток решения задачи «16 точек», предпринятых испытуемыми каждой группы.

Приводим результаты этих опытов, указывая для сопоставления и количество попыток, необходимое для решения задачи «16 точек» при «естественном» прохождении цикла (без ограничения активности и введения каких-либо дополнительных приемов), а также и при условии ограниченной активности в ситуации предшествующих задач, но при приеме предварительного построения 12 различных вариантов решения «9 точек».

1. «Естественный» путь прохождения цикла 15-20

2. Выполнение построения 12 вариантов 4-5

3. При формулировке без дополнительных приемов 30-35

4. Прн автоматизации одного из вариантов 6*

5. Комбинированный прием (формулировка + автоматизация одного варианта) 10

6. Комбинированный прием (формулировка + построение 2 вариантов) 5

* В условиях, когда первая линия проведена экспериментатором.

Отсюда видно, что наиболее эффективным оказался прием, связанный с выполнением построения 12 различных вариантов решения (4-5 попыток), а также и комбинированный прием, при котором словесная формулировка принципа сопровождалась однократным построением двух различных вариантов решения (5 попыток).

Прием автоматизации построения одного из вариантов решения также оказался весьма эффективным (6 попыток), но при оценке его эффективности необходимо принимать во внимание одно важное обстоятельство, встречавшееся в данных опытах,

на основании которого отмеченная нами эффективность этого приема не может быть непосредственно сопоставляема с эффективностью других приемов. Дело заключается в том, что при автоматизации одного из вариантов решения высокая эффективность достигалась лишь в исключительных обстоятельствах, которые дополнительно создавались экспериментатором. Обстоятельства эти состояли в следующем. В первых опытах было обнаружено, что из пяти испытуемых один нашел решение «16 точек», проделав для этого всего лишь шесть попыток. Три испытуемых вообще не смогли решить «16 точек», а один, последний, проделал для этого более 30 предварительных попыток. Необходимо заметить, что хотя мы автоматизировали у каждого испытуемого лишь один из вариантов решения, вместе с тем у каждого испытуемого эти варианты были различными. Так, у первого автоматизировался вариант № 1 7 (рис. 43, а), у второго - № 2 (рис. 43, б), у третьего - № 3 (рис. 43, в), у четвертого - № 4 (рис. 43, г) и у пятого - № 5 (рис. 43, д).

Оказалось, что испытуемый, решивший «16 точек» всего лишь после шести предварительных попыток, имел дело с вариантом № 3 (рис. 43, в). Причем в первой и второй попытке решения «16 точек» этот испытуемый начинал построение чертежа с крайней верхней левой точки, отмеченной на рис. 44 стрелкой «/», а в дальнейших попытках (вероятно, по случайным обстоятельствам) он перенес начало построения на нижнюю крайнюю левую точку (на рис. 44 отмечена стрелкой «2»). После чего им было найдено решение, выраженное чертежом, изображенным на рис. 45, а.

Мы обратили внимание, что вторая часть его построения, выделенная на рис. 45,а жирными линиями, точно соответство-

Варианты нумеруются нами соответственно таблице построения 12 вариантов решения.

Рис. 46. Методика н результат дополнительной серии опытов: [ - автоматизируемые варианты; II - первая линия, проводимая экспериментатором (стрелками указано направление); III - чертежи решения задачи, найденного испытуемым (не. 3 задачу не решил)

вала тому варианту решения «9 точек», который до этого автоматизировался. У других испытуемых таких совпадений не произошло.

Подмеченный факт заставил нас провести дополнительную серию опытов с пятью испытуемыми, которая раскрыла причину этого случая.

Опыты дополнительной серии строились так. Вначале были созданы те же самые условия, что и в предшествующих экспериментах, т. е. испытуемые были ознакомлены с тремя первыми задачами цикла при ограничении активности. Затем, как и в предшествующем случае, у них автоматизировался один из вариантов решения «9 точек» (тот, который был до этого показан экспериментатором). Так, у первого испытуемого автоматизировался вариант № 2 (р,ис. 46, 1а), у второго - № 3 (рис. 46, 16), у третьего - № 5 (рис. 46, /в), у четвертого - № 6 (рис. 46, /г) и у пятого - № 8 (рис. 46, Id ). После автоматизации испытуемые обращались к задаче «16 точек». В отличие от предшествующих случаев в этих опытах экспериментатор навязывал испытуемым начало построения чертежа (экспериментатор проводил первую линию сам и лишь затем передавал карандаш испытуемому) (рис. 46, //-б, в, г, д).

Результаты этих onviTOB были таковы. Из пяти испытуемых лишь один не нашел решения задачи. Остальные затратили на поиск очень небольшое количество попыток.

Отсюда следует, что все решения имели строго определенный характер - ранее автоматизированный вариант составлял вторую часть заключительного чертежа. Следовательно, автоматизация действия, которым осуществлялось решение предшествующей задачи, привела к весьма ощутимому эффекту в решении задачи последующей. Однако этот эффект был возможен лишь в особых условиях, где вариативность действий испытуемых была сведена до минимума.

Чтобы окончательно доказать положение о том, что в данных условиях решающее значение имела именно автоматизация действия, мы повторили эти опыты, несколько модифицируя их. Модификация состояла в том, что, сохраняя неизменными все прочие условия, мы исключили автоматизацию построения варианта решения, ограничиваясь лишь его однократной демонстрацией испытуемому.

Из трех человек, принимавших участие в этих контрольных опытах, никто не нашел решения задачи. Таким образом, роль автоматизации способа решения в данных обстоятельствах была окончательно доказана.

Описывая предшествующие серии опытов, мы уже неоднократно отмечали существенное влияние словесной формулировки способа решения предшествующей задачи на успешность действий в ситуации последующей задачи. В новой серии опытов этот вопрос был подвергнут специальному экспериментальному рассмотрению.

Была использована следующая методика. В первой части все испытуемые (в данных опытах участвовали 12 человек, разделенных на 2 группы по б человек в каждой) после беглого показа им решений задачи «3 точки», «4 точки» и «9 точек» дополнительно выполняли построение чертежа четырех различных вариантов решения «9 точек» (варианты 2, 3, 9 и 12 - см. рис. 42).

Представителям первой группы не давалось никаких дополнительных указаний. При построении этими испытуемыми вариантов решения экспериментатор внимательно следил за тем, чтобы оно не сопровождалось попытками словесно формулировать принцип решения задачи. Те испытуемые, у которых подмечалась тенденция к такому формулированию, исключались из опытов. Таким образом, из 13 человек удалось отобрать б, действия которых не имели никаких намеков на попытку словесно формулировать принцип решения.

Представителям второй группы после построения двух первых вариантов решения давалась дополнительная инструкция, требующая словесной формулировки принципа (с помощью экспериментатора).

Таким образом, в начальной части опытов были составлены две группы испытуемых: в первой - построение четырех вариантов решения «9 точек» не сопровождалось словесной формулировкой принципа; во второй - это построение, наоборот, завершалось такой формулировкой.

Заключительная часть опытов проводилась после недельного перерыва и состояла в следующем. 6 испытуемым (по 3 челове-

Т а блица 2

ка из каждой группы) была дана задача «16 точек» (время для решения ограничивалось десятью минутами). Остальным 6 испытуемым (также по 3 человека из каждой группы) было предложено повторное решение задачи «9 точек».

Результаты опытов приводим в табл. 2.

Из таблицы видно, что испытуемые второй группы (т. е. те, которые словесно формулировали принцип решения задачи «9 точек») в завершающей части опыта обнаружили несравненно больший успех, чем испытуемые первой группы (т. е. те, которые не формулировали словесно принцип решения). Так, например, ни один из испытуемых первой группы в течение 10 минут не смог найти решение «16 точек», в то время как все испытуемые второй группы успешно выполнили это задание; для испытуемых первой группы повторное решение задачи «9 точек» превратилось в проблему, и каждому из них оказалось необходимым сделать в среднем по 8 попыток, в то время как испытуемые второй группы воспроизводили это реиение «с места» (два человека при первой же попытке и один - при второй).

В данном случае мы считаем важным подчеркнуть следующее обстоятельство. Те испытуемые, которые словесно формулировали принцип решения и тем самым знали правило данного действия (например, «два вниз, три вбок; можно начинать и с диагонали»), никогда не сбивались при повторном решении задачи «9 точек». Если же такое правило испытуемому не было дано или не сформулировано им самим, то детали решения «9 точек» очень скоро «забывались», в активной памяти оставался лишь принцип «вырваться» 8 . Через некоторое время (несколько дней, а может быть, часов и даже минут), повторяя решение задачи, испытуемый уже не может пользоваться ранее найденным решением, он вырабатывает это решение вновь, руководствуясь общим принципом - «вырваться!», и вновь осуществляет конкретизацию этого принципа применительно к ситуации «9 точек» (именно по этой причине испытуемым первой группы и оказывается необходимым при повторном решении задачи «9 точек» проделать в среднем по 8 попыток). В том же случае, если в предшествующем решении задачи способ действия был сформулирован словесно, даже через неделю (а может быть, и через значительно большие сроки) решение задачи не вызывает никакого затруднения - оно не вырабатывается вновь, а воспроизводится в готовом виде.

Таким образом, процесс развития принципа решения задачи выступил как сложный, противоречивый, дискретный процесс, постоянно опосредствующийся взаимодействием субъекта с объектом и вместе с тем направляющий это взаимодействие.

Необходимо заметить, что правило «три вниз, две вбок; можнр начинать и с диагонали» предполагает и включает в себя знание исходного принципа «вырваться!» и вместе с тем оио содержит продукт конкретизации этого принципа применительно к задаче «9 точек».

Творческий элемент в решении используемых в опытах мыслительных задач слагается из элементарного действия - соединения двух точек по кратчайшему расстоянию. Условия для творческого решения наступали, когда соответствующие группы точек оказывались выделенными на основании знаний, приобретаемых в решении предшествующих задач или же путем тех же самых элементарных приемов (постепенно связываясь в определенные структуры). В ходе решения предшествующей задачи выделялись необходимые для решения признаки, которые далее и объединялись, давая творческое решение. Однако взаимоотношения этих признаков, их единая структура еще не осознавались. Эта структура осознавалась при решении последующей стимулирующей задачи, что способствовало переходу абстракции на новый, более высокий уровень.

Основным качеством, характеризующим такую стимулирующую задачу, является ее способность преобразовывать практическую цель в теоретическую.

Такое преобразование предполагает активность, самостоятельность испытуемого, оно может быть успешно осуществлено в условиях ближайшей более широкой (перспективной) задачи, где действие решения предшествующей ситуации выступает как звено в решении последующей. Такое обстоятельство с необходимостью приводит к тому, что результат предшествующего решения выступает теперь уже как операция, как способ действия. Однако в качестве стимулирующей задачи может выступить не только перспективная ситуация. Стимулирующей может стать та же самая задача при необходимости изыскания различных способов ее решения.

В некоторой степени абстрагированию принципа способствует автоматизация того способа, который превращается в принцип. Это объясняется тем, что результат решения предшествующей задачи, выступая как способ решения последующей, должен удовлетворять тем требованиям, которые обычно предъявляются к объектам, играющим роль средств. Любым средством необходимо действовать как орудием, не занимаясь постоянно анализом того, как создается само это орудие. Употребление средства не должно быть связано с необходимостью уделять внимание его структуре; испытуемый должен пользоваться уже готовым продуктом прошлого решения, а не производить постоянно вновь и вновь этот продукт в ходе решения более сложной задачи. Говоря иными словами, успеху действия в данном случае способствует монолитность направленности действия, концентрация всех усилий вокруг одной цели, исключающая необходимость распыления деятельности в связи с возникновением внутри ее подсобных задач. Эти подсобные задачи должны быть решены предварительно.

Вместе с тем прием автоматизации действия решения предшествующей задачи является не наилучшим способом. Он обнаруживает эффект лишь в очень узких границах осуществления переноса. Значительно больший эффект достигается в том случае, когда необходимый способ действия при этом вербализуется.

Во всех случаях успех развития принципа решения задачи связан с переходом субъекта на высший уровень взаимодействия с объектом. Высший уровень взаимодействия, реализуясь вначале через предшествующий, реорганизует его затем сообразно собственным особенностям.

Следует полагать, что изменение содержания формирующегося принципа идет за счет сокращения в нем элементов отражения побочного продукта и за счет перевода некоторых из этих элементов в категорию отражения прямого продукта.

Итак, успеху формализации интуитивно полученного эффекта благоприятствуют следующие, экспериментально выявленные условия: включение деятельности в контекст более широкой задачи, в которой результат предшествующего действия должен выступить уже как операция; постановка теоретической задачи, т. е. такой, где цель заключается не в достижении практического результата, а в выяснении способа, которым такой результат уже получен; для успеха формализации способ решения предшествующей задачи целесообразно, не переходя определенного предела, доводить до известной степени автоматизации, достаточной, чтобы действовать данным способом как средством, т. е. оперировать им как целостным образованием. Во всех этих случаях важное значение имеет оптимальный выбор объемной сложности ситуации.

К вашему вниманию очень популярная задача на проверку активности мозга: как девять точек соединить четырьмя линиями так, чтобы линии не накладывались друг на друга, и при этом карандаш или ручка не отрывались от бумаги. Ее пыталось решить немало светлых голов, но поддавалась задача примерно одному из 30 пытавшихся, что свидетельствует об достаточно высоком уровне сложности головоломки. Предлагаем и вам попробовать свои силы в ее решении – это полезное занятие, способствующее стимуляции мозговой деятельности.

9 точек 4 линии – первый шаг к совершенствованию смекалки

Различные логические задачки и головоломки (соединить 9 точек 4 линиями, круги на столе, лабиринт чисел и другие) – это уникальный инструмент для развития человеческого мышления, которым можно пользоваться в любом возрасте. Причем они развивают не только мышление в общем, такие хитрые задания – это тест на мышление нестандартное, нетривиальное, смекалку. А зачем, спросите вы, человеку так важно развивать именно такой вид мышления? Люди с хорошо тренированным нетривиальным мышлением могут найти выход из любой сложившейся жизненной ситуации, причем с наибольшей для себя выгодой. Звучит впечатляюще, не правда ли? И сразу пример прикладного использования развитой смекалки.

В один из солидных американских банков постучался некий гражданин (который, скорее всего, слышал задачку о 9 точках) и сообщил о том, что нуждается в небольшом краткосрочном кредите – 50 тысяч долларов на пару недель. На вопрос о предмете залога он сообщил, что является владельцем очень дорогого Феррари, стоимостью около 300 000 долларов, который он и собирается оставить в качестве гаранта для возврата кредитных средств.

Условия кредитования устроили обе стороны, и гражданин покинул банковский офис с пятьюдесятью тысячами долларов в кармане, но без своего авто. По истечении срока предоставления кредита, гражданин вернулся в банк, погасил тело кредита и положенные проценты по нему, которые за 14 дней составили что-то около 15 долларов. Забрал свой суперкар и уже собирался отъезжать, когда один из любопытных сотрудников банка поинтересовался, а зачем нужно было брать такую незначительную сумму под такой дорогой залог, ведь можно было попросить намного больше? На что довольный гражданин дал ошеломляющее объяснение.

Он рассказал, что ему нужно было отъехать по делам на две недели, а пристроить столь дорогую машину на такой срок за 15 долларов ни на одну автостоянку города у него ни за что не получилось бы. Поэтому он нашел самый удобный и малозатратный способ позаботится о своем Феррари: отдать под охрану банка и не волноваться по поводу его сохранности, и все это за какие-то 15 долларов. Очень прямой и показательный пример того, настолько важно и полезно заниматься развитием нестандартного мышления, а начать можно прямо сейчас занявшись поиском решения как 9 точек соединить четырьмя линиями.

Условие задачи о 9 точках

Есть девять точек, которые нужно соединить 4 линиями. Расположение точек, как на рисунке, где каждой цифре соответствует отдельная точка (цифры проставлены на 9 точках для удобства).

Ограничения. Нужно соединять девять точек прямыми линиями, они не должны повторяться, то есть «возвращаться» по проведенной линии нельзя. При решении задачи, как девять точек соединить четырьмя линиями, пишущий инструмент нельзя отрывать от листа с изображенными на нем точками. Сразу нужно дать подсказку: задача не решается простыми попытками соединить 9 точек 4 линиями по принципу сторон и диагоналей квадрата. Мыслить нужно шире).

Решение

Наверняка многие скажут, что девять точек соединить 4 линиями с соблюдением указанных ограничений невозможно. Однако решение есть и даже не одно.

Чтобы соединить между собой каждую из девяти точек линиями, необходимо обратиться к понятию линия или прямая. Чем она отличается от отрезка? Тем, что не заканчивается на граничной точке, а может свободно продолжаться сколько угодно долго в каждую их сторон. В нашем распоряжении таких линий 4 и теперь понятно, что они могут выходить за пределы, обозначенные в девяти точках.

Итак, последовательность, как 9 точек соединить четырьмя линиями

1. Проложите несколько прямых линий – можно мысленно, можно письменно. Соедините одной точки 3 и 5 через точку 4, продлите ее до места над точкой 6, проведите диагональную линию через 6 и 8, продлите ее до места под точкой 1. Это будут первые две линии из четырех, соединяющие наши 9 точек.
2. Проведите линию соединяющую точку 1 и 3 через точку 2, это третья из прямых линий. Получившаяся фигура представляет собой треугольник с одной вершиной в точке 3 и двумя другими, выходящими за пределы точек 5 и 1.
3. Ручка находится в точке 3 и теперь остается провести заключительную линию. Точки 3,9 и 7 соединятся с ее помощью.

Расставлять точки можно в любой последовательности: точку 4 сместить на место, где точка 2 и т.д. Также соединять точки линиями девяти обозначенных пунктов можно начиная от любого угла. Есть подобное задание, где нужно соединить 4 точки линиями, но головоломка по девяти точкам интереснее.

Творчество - занятие нескучное, и более того, творить можно с юмором. Возможно, эта задачка вам знакома. Возможно, вы, как и многие другие, думаете, что есть только одно решение. Так забудьте его, и найдите новое.

Вот они – 9 магических точек:

Задача: не отрывая карандаша от бумаги, провести 4 пересекающиеся прямые линии, которые коснутся всех девяти точек только 1 раз.

мы слишком часто возводим границы, которых на самом деле нет. И мы остаемся в них. Мы играем по этим правилам. Мы пользуемся фантомными критериями. Мы прогнозируем развитие проекта, основываясь на тенденциях и возможностях, имевших место в прошлом, без поиска и сопоставления новых. Мы не отбрасываем сложившуюся парадигму без разрешения.

Вы могли бы соединить точки четырьмя линиями, выйдя за рамки квадрата. Вот так:

Как вам решение? Нравится? Не кажется ли оно вам элегантным и единственно возможным? На самом деле, самым серьезным ограничением в решении этой задачи является как раз вывод, что существует только ОДИН ответ. В действительности же вы можете отыскать несколько абсолютно разных решений этой проблемы.

Но как сломать парадигму и найти другие результаты?

Есть техника, которая называется «вынужденный уход». Нужно забыть о постановке проблемы и работать над решением ее дистанцированной версии. Это путь к новым парадигмам, перспективам и результатам.

И первой модифицированной задачей будет… те же 9 точек

Задача: на этот раз проведите 3 пересекающиеся прямые линии, которые должны коснуться каждой точки только 1 раз. Если не удается найти решение, постарайтесь определить, какие рамки, выводы и критерии вам мешают и останавливают поиск.
Давайте посмотрим вместе.

Во-первых, скажите, что вы видите, глядя на область точек? Надеюсь, вы уже отказались от привычки рисовать квадрат и другие фигуры. Теперь вас, возможно, блокирует то, что вы видите эти точки на листе бумаги. Для того, чтобы найти несколько способов решения проблемы «3 линий», вам нужно представить эти точек в пространстве. Только так 3 прямые смогут покинуть кусок бумаги.

Во, вторых, не кажется ли вам, что эти линии должны проходить через центр каждой из 9 точек? Это несуществующее условие мешает вам думать.

В-третьих, как вы определяете саму точку? В школе нас учили, что точка – это элемент геометрического пространства, характеризуется только положением, принадлежностью, а не размером или формой. А вот эти кружочки, которые в нашей задаче называются точками, как раз имеют и форму, и размер. Не совсем честно с нашей стороны, да? Ну что ж, такова жизнь. А в реальной жизни точки очень разнятся по величине и форме. На бигбордах они вырастают до размеров человеческой головы, а на клоунском костюме уменьшаются до горошка. Поэтому добавьте реальности в свои представления о точках, пока вы не стали жертвой другой плохой привычки, мешающей креативному мышлению.

Речь идет об использовании узких определений, которые ограничивают процесс мышления наподобие воронки. Мы увязаем в старых парадигмах.

Благодаря отсутствующим границам, уточненным предположениям и расширенным определениям, мы нашли следующее решение проблемы 3 прямых:

Мысленно покиньте лист бумаги. Первая прямая проходит по касательной первую точку, пересекает вторую почти по центру и немного задевает третью точку. Продлите эту прямую дальше, за край бумаги, пока другая прямая не сможет проделать то же самое со средним столбцом точек. Аналогичным образом должна повести себя и третья прямая.

Вот решение, базирующееся на постулате неевклидовой геометрии о том, что параллельные прямые пересекаются в бесконечности. Ответ состоит из трех параллельных линий, каждая из которых затрагивает различные ряды точек, а затем все три линии соединяют в бесконечности. Аккуратный сдвиг парадигмы, не так ли? Вполне возможно, поиск решения потребует покинуть вашу зону комфорта.

Привычка, сводящая креативность к нулю: зачастую мы выделяем “справедливую” идею еще до того, как сделать выбор из нескольких решений. Не позволяйте “порядочности” мешать поискам.

Следующая проблема для 9 точек.

Задача: используйте 2 пересекающиеся прямые линии, которые коснутся всех 9 точек только 1 раз.

Невозможно, говорите вы? Вам не помешает еще одна ревизия своих необоснованных предположений, несуществующих границ, надуманных критериев, узких определений, мыслительных воронок и шаблонов.

Один блок таится в определении линии, которого вы придерживаетесь. Из школьной программы: линия - это бесчисленное множество точек, которые расположены на одной линии, не имеющей ни начала, ни конца, т.е. обладают только одним свойством - длиной. В реальной жизни у линий есть ширина. Вспомните потоки транспорта на магистралях или цепочку из троллейбусов перед перекрестком. Таким образом, и на этот раз, склонность к готовым терминам привела вас к выводу, что можно использовать лишь тонкие линии.
Вот что получается, если определения расширить - решение, состоящее из одной широкой и одной узкой линий!

В поисках решения нашей последней проблемы попробуйте воспользоваться техникой “вынужденного ухода”.

Задача: одна прямая линия должна коснуться всех девяти точек.

Вообще, существует не меньше сотни приемлемых решений. Некоторые из них приведены здесь, чтобы вызвать новые парадигмы и мыслительные воронки и подогреть аппетит к большему.

• Используйте одну широкую линию, которая касается каждой точки.
• Пропустите большую 3-мерную линию через девять точек сверху вниз так, что она пройдет через бумагу и коснется каждой точки.
• Сложите бумагу так что вы можете сделать одну линию, которая касается каждой точки. (Вы предполагали, что вам запрещалось сложить бумагу?)
• Разрежьте бумагу так, чтобы каждая точка оказалась на отдельном клочке. Уложите частички в одну линию, которая затронет каждую точку. (Вы думали, что вы не можете резать бумагу?)
• Сверните лист бумаги в конус и нарисуйте прямую линию, что спирали вокруг поверхности конуса и затрагивает все девять точек. (Вам не приходило в голову, что с бумагой можно делать все, что угодно?)
• Положите лист бумаги с девятью точками на экватор Земли и тщательно рисуйте прямую линию вокруг Земли достаточное количество раз, так что в итоге она коснется каждой точки. Или положите бумагу на край Вселенной и проводите вашу прямую кольцевую линию вокруг Вселенной, пока она не коснется каждой точки. (Вы не предполагали, что вы можете использовать фантазию? Обратите внимание, мы расширили нашу мыслительную воронку из девяти точек до окна, выходящего на край Вселенной).
• Напишите "ОДНА" поверх первого ряда точек, "ПРЯМАЯ” над средним рядом точек и "ЛИНИЯ" над нижней строкой точек. Вы коснулись точек словами "одна прямая линия" (Вы думали, что вы не можете использовать слова?)
• Нарисуйте линию на тонком краю бумаги. Посмотреть на девять точек через эту боковую линию.
• Перемещайте прямую, как стеклоочистители в автомобиле, - и вы коснетесь всех точек. (Вам казалось, что вы не могли двигать линию, или что линия должна была коснуться всех точек в одно и то же время?)
• Разрежьте прямую линию на 1000 кусочков и рассыпьте их над девятью точками (А что, было запрещено разрезать линии?)
• Разрежьте так, чтобы одна точка оказалась на отдельном кусочке бумаги. Выстройте точки в башенку, одну над другой. Нажмите карандашом на все точки. Вы не только коснулись всех точек одной прямой, но вы уничтожили и точки, и проблемы. Одним махом.
• Подождите. Вот еще одна затравка для размышлений. Представьте, вы сидите со своими точками за столом, и тут входит царь зверей и проглатывает их все разом. Или как насчет девяти человек, каждого из которых зовут Точка, съеденных одним львом?
• Не могу удержаться от еще более странного решения. Измененить точки в прищепки и повесить их на одной прямой бельевой веревке. (Вы предположили, что не можете конвертировать точки или линии во что-то еще?)
• Или можно превратить точки в теннисные мячи и играть в теннис с ними, пока каждый из них не коснется теннисной сетки, которая является одной прямой линией.
• Или изменить линию в тень солнечных часов, чтобы он в конечном итоге коснется всех точек, как Солнце движется по небу.
• Или преобразовать прямую в солнечный луч и использовать стеклянную призму, чтобы разбить ее на множество цветных линий, которые касаются всех девяти точек. Пока хватит?

По материалам книги "R&D CREATIVITY & INNOVATION HANDBOOK" A Practical Guide To Improve Creative Thinking & Innovation By

9 точек 4 линии

Условие: нужно соединить нарисованные девять точек четырьмя прямыми линиями не отрывая ручки от листа бумаги.

Вообще между всеми девятью точками можно провести всего 20 прямых линий: 4 стороны квадрата; 2 диагонали; 6 линий, соединяющих центры сторон большого квадрата; 8 линий соединяющих центры сторон большого квадрата с его углами. Как нарисовать все отрезки, соединяющие наши 9 точек, показано на рисунке ниже:

Но, даже используя эту схему, невозможно найти 4 линии, которыми можно было бы соединить все девять точек, не отрывая руки.

Верное решение «теста 9 точек»

Спойлер

Решение этой головоломки лежит несколько шире нашего стандартного восприятия задачи. Для того, чтобы самостоятельно найти верный подход вспомните, что:

• Через любые 2 точки можно провести только одну прямую линию.
• Прямая линия – это не отрезок и, следовательно, нам не обязательно ограничиваться при рисовании линий нашими девятью синими кружками.

Таким образом, давайте попробуем продолжить линии за пределы, ограничивающего нас до недавнего времени квадрата. Тут видно, что область нашего поиска значительно увеличилась. Потрудившись немного можно прийти к одному из правильных решений.

Последовательность соединений девяти точек четырьмя линиями:

Можно посмотреть видео решения этой задачи:

Творческий подход в этой головоломке

Большинство людей, которые решали эту задачу, так и не смогли выбраться за рамки стандартного мышления, которое в данном тесте выражено квадратом, образованным девятью точками. Нам комфортно смотреть на любую жизненную задачу прямо, наиболее просто. С другой стороны, человек может потратить много времени и сил для того, чтобы, используя стандартный подход, найти верное решение, когда это решение лучше искать, изначально подойдя к процессу творчески.

Даже в нашем изображении 4-х точек, которое дано в нашем условии головоломки о 9 точках, сами точки-кружки достаточно большие, чтобы можно было их соединить 3-мя линиями вот так: