Плоскость в пространстве – необходимые сведения. Свойства прямых и плоскостей Параметрические уравнения прямой

Две прямые в пространстве параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Две прямые в пространстве скрещиваются, если не существует такой плоскости, в которой они обе лежат.

Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в некоторой и носкости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

Плоскость и прямая, не принадлежащая плоскости, параллельны, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-либо прямой, принадлежащей плоскости, то она параллельна и плоскости.

Свойства плоскости и прямой, параллельной плоскости:

1) если плоскость содержит прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой;

2) если через каждую из двух параллельных прямых проведены пересекающиеся плоскости, то линия их пересечения параллельна данным прямым.

Две плоскости параллельны, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Свойства прямой, перпендикулярной плоскости.

1) если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости;

2) прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости.

Признак перпендикулярности плоскостей. Если плоскость содержит перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Прямая, пересекающая плоскость, но не перпендикулярная к ней, называется наклонной к плоскости.

Теорема о трех перпендикулярах. Для того чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы она была перпендикулярна проекции этой наклонной на плоскость.

На рисунке 1 прямая b − наклонная к плоскости, прямая c - проекция этой наклонной на плоскость и поскольку а ┴ с , то a ┴ b

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между наклонной и ее проекцией на плоскость. На рисунке 2 прямая b - наклонная к плоскости, прямая a - проекция этой наклонной на плоскость, α - угол между этой наклонной и плоскостью.

Двугранный угол образуется в результате пересечения двух плоскостей. Прямая, полученная в результате пересечения двух плоскостей, называется ребром двугранного угла. Две полуплоскости с общим ребром называются гранями двугранного угла.

Полуплоскость, граница которой совпадает с ребром двугранного угла и которая делит двугранный угол на два равных угла, называется биссекторной плоскостью.

Двугранный угол измеряется соответствующим линейным углом. Линейным углом двугранного угла называется угол между перпендикулярами, проведенными в каждой грани к ребру.

Призма

Многогранник, две грани которого равные n - угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней - параллелограммы, называется n -угольной призмой.

Два n - угольника являются основаниями призмы, параллелограммы - боковыми гранями. Стороны граней называются ребрами призмы, а концы ребер - вершинами призмы.

Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, заключенный между основаниями призмы.

Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины оснований, не лежащие в одной грани.

Прямой призмой называется призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований (рис. 3).

Наклонной призмой называется призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований (рис.4).

Объем и площадь поверхности призмы высотыhнаходят по формулам:

Площадь боковой поверхности прямой призмы можно вычислить по формуле .

Объем и площадь поверхности наклонной призмы (рис. 4) можно вычислить также иначе: где ΔPNK - сечение, перпендикулярное ребру l.

Правильной призмой называется прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

Параллелепипедом называется призма, все грани которой - параллелограммы.

Прямым параллелепипедом называется параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны плоскостям оснований.

Прямоугольным параллелепипедом называется прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник.

Свойство диагонали прямоугольного параллелепипеда

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: d ² = a ² + b ² + c ², где a,b,c- длины ребер, выходящих из одной вершины, d - диагональ параллелепипеда (рис. 3).

Объем прямоугольного параллелепипеда находят по формуле V = abc.

Кубом называется прямоугольный параллелепипед с равными ребрами. Все грани куба - квадраты.

Объем, площадь поверхности и диагональ куба с ребромa находят по формулам:

V = a ³, S = 6a ² d ² = 3a ².

Пирамида

Многогранник, одна грань которого - многоугольник, а остальные грани - треугольники с общей вершиной, называется пирамидой. Многоугольник называется основанием пирамиды, а треугольники - боковыми гранями.

Высотой пирамиды называется отрезок перпендикуляра, проведенного из вершины пирамиды к плоскости основания.

Если все боковые ребра пирамиды равны или наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то высота опускается в центр описанной окружности.

Если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом (двугранные углы при основании равны), то высота опускается в центр вписанной окружности.

Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а высота опускается в центр вписанной и описанной окружности многоугольника, лежащего в основании пирамиды. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из её вершины, называется апофемой.

Например, на рисунке 5 изображена правильная треугольная пирамида SABC (тетраэдр):AB = BC = AC = a , OD = r - радиус окружности, вписанной в треугольник ABC , OA =R - радиус окружности, описанной около треугольника ABC , SO =h - высота

пирамиды, SD = l- апофема, - уголнаклона бокового

ребра SA к плоскости основания, - уголнаклонабоковой грани SBC к плоскости основания пирамиды.

Треугольная пирамида называется тетраэдром. Тетраэдр называется правильным, если все его ребра равны.

Объем пирамиды и площадь ее поверхности находят по формулам:

Где h - высота пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды находят по формуле , где - апофема пирамиды.

Усеченной пирамидой называется многогранник, вершинами которого служат вершины основания пирамиды и вершины её сечения плоскостью, параллельной основанию пирамиды. Основания усеченной пирамиды − подобные многоугольники.

Объем усеченной пирамидынаходят по формуле , где и - площади оснований, h - высота усеченной пирамиды.

Правильные многогранники

Правильным многогранником называется выпуклый многогранник, у которого все грани − правильные многоугольники с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Грани правильного многогранника могут быть или равносторонними треугольниками, или квадратами, или правильными пятиугольниками.

Если у правильного многогранника грани - правильные треугольники, то соответствующими многогранниками являются правильный тетраэдр (он имеет 4 грани), правильный октаэдр (он имеет 8 граней), правильный икосаэдр (он имеет 20 граней).

Если у правильного многогранника грани - квадраты, то многогранник называется кубом или гексаэдром (он имеет 6 граней).

Если у правильного многогранника грани - правильные пятиугольники, то многогранник называется додекаэдром (он имеет 12 граней).

Цилиндр

Цилиндром называется фигура, полученная в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.

На рисунке 6 прямая - ось вращения; - высота, l - образующая; ABCD - осевое сечение цилиндра, полученного вращением прямоугольник а вокруг стороны . Объем и площадь поверхности цилиндра находят по формулам:

, , , , где R- радиус основания, h - высота,l - образующая цилиндра.

Конус

Конусом называется фигура, полученная в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. На рисунке 7 прямая OB - ось вращения; OB = h - высота, l - образующая;ΔABC - осевое сечение конуса, полученного вращением прямоугольного треугольника OBC вокруг катета OB .

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Плоскость в пространстве

1 Точка пересечения прямой с плоскостью

1 Различные случаи положения прямой в пространстве

2 Угол между прямой и плоскостью

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ВВЕДЕНИЕ

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

By + Cz +D = 0

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением, которое называется уравнением плоскости.

Вектор n (A, B, C), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0. Особые случаи уравнения

D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.

C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.

C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.

B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

Прямая в пространстве может быть задана:

) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0;

) двумя своими точками M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

=;

) точкой M1(x1, y1, z1), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

Уравнения называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор a называется направляющим вектором прямой.

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений параметру t:

X1 +mt, y = y1 + nt, z = z1 + рt.

Решая систему как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой:

Mz + a, y = nz + b

От уравнений можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:

От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = , где n1(A1, B1, C1) и n2(A2, B2, C2) - нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система

равносильна системе ; такая прямая перпендикулярна к оси Ох.

Система равносильна системе x = x1,y = y1; прямая параллельна оси Oz.

Цель курсовой работы: изучить прямую и плоскость в пространстве.

Задачи курсовой работы: рассмотреть плоскость в пространстве, её уравнение, а также рассмотреть плоскость в пространстве.

Структура курсовой работы: введение, 2 главы, заключение, список использованных источников.

Глава 1. Плоскость в пространстве

.1 Точка пересечения прямой с плоскостью

Пусть плоскость Q задана уравнением общего типа: Ax+By+Cz+D=0, а прямая L в параметрическом виде: x=x1+mt, y=y1+nt, z=z1+pt, тогда чтобы найти точку пересечения прямой L и плоскости Q, нужно найти значение параметра t, при котором точка прямой будет лежать на плоскости. Подставив значение x, y, z, в уравнение плоскости и выразив t, получим

Значение t будет единственным, если прямая и плоскость не параллельны.

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Рассмотрим прямую L:

и плоскость ?:

Прямая L и плоскость ?:

а) перпендикулярны друг другу тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны, т. е.

б) параллельны друг другу тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны, т. е.

и Am + Bn + Ср = 0.

.2 Угол между прямой и плоскостью

Угол ? между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой вычисляется по формуле:

Пучок плоскостей

Совокупность всех плоскостей, проходящих через заданную прямую L, называется пучком плоскостей, а прямая L - осью пучка. Пусть ось пучка задана уравнениями

Почленно умножим второе уравнение системы на постоянную и сложим с первым уравнением:

A1x+B1y+C1z+D1+ ?(A2x+B2y+C2z+D2)=0.

Это уравнение имеет первую степень относительно х, у, z и, следовательно, при любом численном значении ? определяет плоскость. Так как данное уравнение есть следствие двух уравнений, то координаты точки, удовлетворяющие этим уравнениям будут удовлетворять и данному уравнению. Следовательно, при любом численном значении ? данное уравнение есть уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую. Полученное уравнение есть уравнение пучка плоскостей .

Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M1(2, -3, 4) параллельно прямым

Решение. Запишем уравнение связки плоскостей, проходящих через данную точку M1:

А (х - 2) + В (у + 3) + C(z - 4) = 0.

Так как искомая плоскость должна быть параллельна данным прямым, то ее нормальный вектор должен быть перпендикулярен направляющим векторам этих прямых. Поэтому в качестве вектора N можно взять векторное произведение векторов :

Следовательно, А = 4, В = 30, С = - 8. Подставляя найденные значения А, В, С в уравнение связки плоскостей, получим

4(x-2)+30(y + 3) -8(z-4) =0 или 2x + 15у - 4z + 57 = 0.

Пример. Найти точку пересечения прямой и плоскости 2х + 3y-2z + 2 = 0.

Решение. Запишем уравнения данной прямой в параметрическом виде:

Подставим эти выражения для х, у, z в уравнение плоскости:

(2t+1)+3(3t-1)-2(2t+5)+2=0 Þ t=1.

Подставим t = 1 в параметрические уравнения прямой. Получим

Итак, прямая и плоскость пересекаются в точке М(3, 2, 7).

Пример. Найти угол ? между прямой и плоскостью 4x-2y-2z+7=0.Решение. Применяем формулу (3.20). Так как

то

Следовательно,? = 30°.

Прямая линия в пространстве бесконечна, поэтому задавать ее удобнее отрезком. Из школьного курса Евклидовой геометрии известна аксиома, «через две точки в пространстве можно провести прямую и, притом, только одну». Следовательно, на эпюре прямая может быть задана двумя фронтальными и двумя горизонтальными проекциями точек. Но так как прямая - это прямая (а не кривая), то с полным основанием мы можем соединить эти точки отрезком прямой и получить фронтальную и горизонтальную проекции прямой (рис. 13).

Доказательство от обратного: в плоскостях проекций V и Н заданы две проекции а" b" и ab (рис.14). Проведем через них плоскости, перпендикулярные к плоскостям проекций V и Н (рис.14), линией пересечения плоскостей будет прямая АВ.

.1 Различные случаи положения прямой в пространстве

В рассмотренных нами случаях прямые не были ни параллельными, ни перпендикулярными к плоскостям проекций V, Н, W. Большинство прямых занимает именно такое положение в пространстве и их называют прямыми общего положения. Они могут быть восходящими или нисходящими (разобраться самостоятельно).

На рис. 17 показана прямая общего положения, заданная тремя проекциями. Рассмотрим семейство прямых, обладающих важными свойствами - прямые, параллельные какой-либо плоскости проекци.

На рис. 17 показана прямая общего положения, заданная тремя проекциями.

Рассмотрим семейство прямых, обладающих важными свойствами - прямые, параллельные какой-либо плоскости проекций.

а) Горизонтальная прямая (иначе - горизонталь, прямая горизонтальною уровня). Так называется прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций. Ее изображение в пространстве и на эпюре показано на рис. 18.

Горизонталь легко узнать на эпюре «в лицо»: ее фронтальная проекция всегда параллельна оси ОХ. Полностью важнейшее свойство горизонтали формулируются так:

У горизонтали - фронтальная проекция параллельна оси ОХ, а горизонтальная отражает натуральную величину. Попутно горизонтальная проекция горизонтали на эпюре позволяет определить угол ее наклона к плоскости V (угол b) и к плоскости W (у) - рис.18.

б) Фронтальная прямая (фронталь, прямая фронтального уровня) - это прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций. Мы не иллюстрируем ее наглядным изображением, а показываем ее эпюр (рис. 19).

Эпюр фронтали характерен тем, что горизонтальная и профильная ее проекции параллельны соответственно осям X и Z, а фронтальная проекция располагается произвольно и показывает натуральную величину фронтали. Попутно на эпюре имеются углы наклона прямой к горизонтальной (а) и профильной (у) плоскостям проекций. Итак, еще раз:

У фронтали - горизонтальная проекция параллельна оси ОХ, а фронтальная отражает натуральную величину

в) Профильная прямая. Очевидно, что это прямая, параллельная профильной плоскости проекций (рис. 20). Очевидно также, что натуральная величина профильной прямой имеется на профильной плоскости проекций (проекция а"b" - рис. 20) и здесь же можно видеть углы ее наклона к плоскостям Н (a) и V (b).

Следующее семейство прямых, хотя и не столь важных, как прямые уровня - это проецирующие прямые.

Прямые, перпендикулярные к плоскостям проекций, называются проецирующими (по аналогии с проецирующими лучами - рис. 21).

АВ пл. Н - прямая горизонтально-проецирующая;пл. V - прямая фронтально-проецирующая;пл. W - прямая профильно-проецирующая.

2.2 Угол между прямой и плоскостью

плоскость прямая угол треугольник

Метод прямоугольного треугольника

Прямая общего положения, как мы уже говорили, наклонена к плоскостям проекций под некоторым произвольным углом.

Угол между прямой и плоскостью определяется углом, составленным прямой и ее проекцией на эту плоскость (рис. 22). Угол a определяет угол наклона отрезка АВ к пл. Н. Из рис. 22: Ab1 |1пл. Н; Вb1 = ВЬ - Аа = Z Рис. 22

В прямоугольном треугольнике AВb1 катет Ab1 равен горизонтальной проекции ab; а другой катет Вb1 равен разности расстояний точек А и В от пл. Н. Если из точки В на горизонтальной проекции прямой ab проведем перпендикуляр и отложим на нем величину Z,то, соединив точку а с полученной точкой b0, получим гипотенузу аb0, равную натуральной величине отрезка АВ. На эпюре это выглядит так (рис. 23):

Аналогично определяется угол наклона прямой к фронтальной плоскости проекций (b) - рис. 24.

Обратите внимание: при построениях на горизонтальной проекции прямой мы откладываем на вспомогательной прямой величину Z; при построениях на фронтальной проекции - величину Y.

Рассмотренный метод носит название прямоугольного треугольника. С его помощью можно определить натуральную величину любого интересующего нас отрезка, а также углы его наклона к плоскостям проекций.

Взаимное положение прямых

Ранее мы рассмотрели вопрос принадлежности точки прямой: если точка принадлежит прямой, то ее проекции лежат на одноименных проекциях прямой (правило принадлежности, см. рис. 14). Из школьного курса геометрии вспомним: две прямые пересекаются в одной точке (или: если две прямые имеют одну общую точку, то они пересекаются в этой точке).

Проекции пересекающихся прямых на эпюре имеют ярко выраженный признак: проекции точки пересечения лежат на одной линии связи (рис. 25). Действительно: точка К принадлежит и АВ, и CD; на эпюре точка k" лежит на одной линии связи с точкой k.

Прямые АВ и CD - пересекаются

Следующее из возможных взаимных расположении двух прямых в пространстве - прямые скрещиваются. Это возможно в случае, когда прямые не параллельны, но и не пересекаются. Такие прямые всегда можно заключить в две параллельные плоскости (рис. 26). Это отнюдь не означает, что две скрещивающиеся прямые обязательно лежат в двух параллельных плоскостях; а лишь то, что через них можно провести две параллельные плоскости.

Проекции двух скрещивающихся прямых могут пересекаться, но точки их пересечения не лежат на одной линии связи (рис. 27).

Попутно решим вопрос о конкурирующих точках (рис. 27). На горизонтальной проекции мы видим две точки (е,f), а на фронтальной они сливаются в одну (e"f"), причем не ясно, какая из точек видна, а какая не видна (конкурирующие точки).

Две точки, фронтальные проекции которых совпадают, называются фронтально-конкурирующими.

Подобный случай мы рассматривали ранее (рис. 11), при изучении темы «взаимное расположение двух точек». Поэтому применим правило:

Из двух конкурирующих точек считается видимой та, координата которой больше.

Из рис. 27 видно, что горизонтальная проекция точки Е (е) отстоит от оси ОХ дальше, чем точка f. Следовательно, координата «Y» точки «е» больше, чем у точки f; следовательно, видимой будет точка Е. На фронтальной проекции точка f" заключена в скобки как невидимая.

Еще одно следствие: точка е принадлежит проекции прямой ab, а это значит, что на фронтальной проекции прямая а"Ь" расположена «поверх» прямой c"d".

Параллельные прямые

Параллельные прямые на эпюре легко распознать «в лицо», ибо одноименные проекции двух параллельных прямых - параллельны.

Обратите внимание: одноименные! Т.е. фронтальные проекции параллельны между собой, а горизонтальные - между собой (рис. 29).

Доказательство: на рисунке 28 в пространстве даны две параллельные прямые АВ и CD. Проведем через них проецирующие плоскости Q и Т - они окажутся параллельными (ибо если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны).

На эпюре З0а заданы параллельные прямые, на эпюре 30б прямые скрещивающиеся, хотя и в том, и в другом случае фронтальные и горизонтальные проекции взаимно параллельны.

Существует, однако, прием, с помощью которого можно определить взаимное положение двух профильных прямых, не прибегая к построению третьих проекции. Для этого достаточно соединить концы проекций вспомогательными прямыми, как по казано на рис 30. Если окажется, что точки пересечения этих прямых лежат на одной линии связи - профильные прямые параллельны между собой - рис. З0а. Если нет - профильные прямые скрещивающиеся (рис. 306).

Особые случаи положения прямых:

Проекции прямого угла

Если две прямые общего положения пересекаются пол прямым углом, то их проекции образуют угол, не равный 90° (рис. 31).

А так как при пересечении двух параллельных плоскостей третьей в пересечении получаются параллельные прямые, то горизонтальные проекции ab и cd - параллельны.

Если повторить операцию и спроецировать прямые АВ и CD на фронтальную плоскость проекций, мы получим тот же результат.

Особый случай представляют собой две профильные прямые, заданные фронтальными и горизонтальными проекциями (рис.30). Как было сказано, у профильных прямых фронтальные и горизонтальные проекции взаимно параллельны, однако, по этому признаку нельзя судить о параллельности двух профильных прямых, не построив третьей проекции.

Задача. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник ABC, катет ВС которою лежит на прямой MN (рис. 34).

Решение. Из эпюра видно, что прямая MN представляет собой горизонталь. А по условию искомый треугольник - прямоугольный.

Воспользуемся свойством проекции прямого угла и опустим из точки «а» перпендикуляр HА проекцию mn (на пл. Н наш прямой угол проецируется без искажении) - рис. 35.

В качестве вспомогательной прямой, проводимой из конца отрезка под прямым углом к данному, мы используем часть горизонтальной проекции прямой, а именно bm (рис. 36). Отложим на ней величину разности координат Z, взятую с фронтальной проекции, и соединим точку «а» с концом полученного отрезка. Мы получим натуральную величину катета АВ (ab; ab).

На рисунках 31 и 32 показаны две прямые общего положения, образующие между собой угол 90° (на рис. 32 эти прямые лежат в одной плоскости Р). Как видим, на эпюрах угол, образованный проекциями прямых, не равен 90°.

Отдельным вопросом мы рассматриваем проекции прямою угла по следующей причине:

Если одна из сторон прямого угла параллельна какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость прямой угол проецируется без искажений (рис. 33).

Мы не станем доказывать это положение (проработайте это самостоятельно), а рассмотрим преимущества, которые можно извлечь из этого правила.

Прежде всего, отметим, что по условию одна из сторон прямого угла параллельна какой-либо плоскости проекций, следовательно, одна из сторон будет либо фронталью, либо горизонталью (может быть и профильной прямой) - рис. 33.

А фронталь и горизонталь на эпюре легко узнать «в лицо» (одна из проекции обязательно параллельна оси ОХ), или ее можно легко построить при необходимости. Кроме того, у фронили и горизонтали есть важнейшее свойство: одна из их проекции обязательно отражает

Пользуясь правилом принадлежности, найдем фронтальную проекцию точки b" с помощью линии связи. У нас появился катет АВ (a"b";ab).

Чтобы отложить катет ВС на стороне MN, нужно сначала определить натуральную величину отрезка АВ (ad; ab). Для этого воспользуемся уже изученным правилом прямоугольного треугольника.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Общие уравнения прямой в пространстве

Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей. Как было рассмотрено выше, плоскость в векторной форме может быть задана уравнением:

×+ D = 0, где

Нормаль плоскости; - радиус- вектор произвольной точки плоскости.

Пусть в пространстве заданы две плоскости: ×+ D1 = 0 и ×+ D2 = 0, векторы нормали имеют координаты: (A1, B1, C1), (A2, B2, C2); (x, y, z). Тогда общие уравнения прямой в векторной форме:

Общие уравнения прямой в координатной форме:

Для этого надо найти произвольную точку прямой и числа m, n, p.При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям.

Уравнение плоскости в пространстве

Пусть даны точка и ненулевой вектор ( то есть , где

при условииявляется вектором нормали.

Если , , , ..., то уравнение можно преобразовать к виду. Числа , и , и

Пусть - какая-нибудь точка плоскости, - вектор перпендикулярный плоскости. Тогда уравнениеесть уравнение этой плоскости.

Коэффициенты , ; в уравнении плоскости являются координатами вектора, перпендикулярного плоскости.

Если уравнение плоскости разделить на число, равное длине вектора , то получим уравнение плоскости в нормальной форме.

Уравнение плоскости, которая проходит через точку и перпендикулярна ненулевому вектору , имеет вид.

Всякое уравнение первой степени задает в координатном пространстве единственную плоскость, которая перпендикулярна вектору с координатами .

Уравнение является уравнением плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной ненулевому вектору .

Каждая плоскость задается в системе прямоугольных координат , , уравнением вида .

при условии, что среди коэффициентов , , есть ненулевые, задает в пространстве плоскость в системе прямоугольных координат. Плоскость в пространстве задается в системе прямоугольных координат , , уравнением вида , при условии, что .

Верно и обратное утверждение: уравнение вида при условии задает в пространстве плоскость в системе прямоугольных координат.

Где , , , , ,

Плоскость в пространстве задается уравнением , где , , , - действительные числа, причем , , одновременно не равны 0 и составляют координаты вектора , перпендикулярного этой плоскости и называемого вектором нормали.

Пусть даны точка и ненулевой вектор ( то есть ). Тогда векторное уравнение плоскости , где - произвольная точка плоскости) принимает вид - уравнение плоскости по точке и вектору нормали.

Каждое уравнение первой степени при условиизадает в прямоугольной системе координат единственную плоскость, для которой вектор является вектором нормали.

Если , , , , то уравнение можно преобразовать к виду. Числа , и равны длинам отрезков, которые отсекает плоскость на осях , и соответственно. Поэтому уравнение называется уравнением плоскости "в отрезках".

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.Стереометрия. Геометрия в пространстве. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.

2.Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - Главная редакция физико-математической литературы, 2000.- 512 с.

.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, 2005. - 304 с.

.Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия: Учеб. для вузов. - 7-е изд., стер., 2004. - 224 с. - (Курс высшей математики и математической физики.)

.Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии: Учебн. пособие. - 13-е изд., стереот. -, 2005. - 240 с.

.Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. -2-е изд. -, 2000, 388 с (Сер.Математика в техническом университете

.Кадомцев СБ. Аналитическая геометрия и линейная алгебра, 2003. - 160 с.

.Федорчук В. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. пособие, 2000. - 328 с.

.Аналитическая геометрия (конспект лекций Троицкого Е.В., 1 курс, 1999/2000)- 118 с.

.Бортаковский, А.С. Аналитическая геометрия в примерах и задачах: Учеб. Пособие / А.С. Бортаковский, А.В. Пантелеев. - Высш. шк., 2005. - 496 с: ил. - (Серия «Прикладная математика»).

.Морозова Е.А., Скляренко Е.Г. Аналитическая геометрия. Методическое пособие 2004. - 103 с.

.Методические указания и рабочая программа по курсу «Высшая математика» - 55 с.

Уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей:

Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой.

Вообще любые две не параллельные плоскости, заданные общими уравнениями

определяют прямую их пересечения. Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две точки:

Пусть даны точки A(x 1 ;y 1) и B(x 2 ;y 2). Уравнение прямой, проходящей через точки A(x 1 ;y 1) и B(x 2 ;y 2) имеет вид:

Если данные точки A и B лежат на прямой, параллельной оси O x (у 2 -у 1 =0) или оси O у (х 2 -х 1 =0), то уравнение прямой будет соответственно иметь вид у=у 1 или х=х 1

Пример 4. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точки A(1;2) и B(-1;1).

Решение: Подставляя в уравнение (8) x 1 =1, y 1 =2, x 2 =-1; y 2 =1 получим:
откуда или 2у-4=х-1, или окончательно х-2у+3=0

Каноническое уравнение прямой:

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy . Поставим себе задачу: получить уравнение прямой a , если - некоторая точка прямой a и - направляющий вектор прямой a .

Пусть - плавающая точка прямой a . Тогда вектор является направляющим вектором прямой a и имеет координаты (при необходимости смотрите статьюнахождение координат вектора через координаты точек). Очевидно, что множество всех точек на плоскости определяют прямую, проходящую через точку и имеющую направляющий вектор тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.

Запишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов и : . Последнее равенство в координатной форме имеет вид .

Если и , то мы можем записать

Полученное уравнение вида называют каноническим уравнением прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy . Уравнение также называют уравнением прямой в каноническом виде .

Итак, каноническое уравнение прямой на плоскости вида задает в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, проходящую через точку и имеющую направляющий вектор .

Приведем пример канонического уравнения прямой на плоскости.

К примеру, уравнение является уравнением прямой в каноническом виде. Прямая, соответствующая этому уравнению, проходит через точку , а - ее направляющий вектор. Ниже приведена графическая иллюстрация.

Отметим следующие важные факты:

· если - направляющий вектор прямой и прямая проходит как через точку , так и через точку , то ее каноническое уравнение можно записать как , так и ;

· если - направляющий вектор прямой, то любой из векторов также является направляющим вектором данной прямой, следовательно, любое из уравнений прямой в каноническом виде соответствует этой прямой.

Параметрические уравнения прямой:

Теорема. Следующая система уравнений является параметрическими уравнениями прямой:

где – координаты произвольной фиксированной точки данной прямой, – соответствующие координаты произвольного направляющего вектора данной прямой, t – параметр.

Доказательство. В соответствии с определением уравнения любого множества точек координатного пространства, мы должны доказать, что уравнениям (7) удовлетворяют все точки прямой L и, с другой стороны, не удовлетворяют координаты точки не лежащей на прямой.

Пусть произвольная точка . Тогда векторы и являются по определению коллинеарными и по теореме о коллинеарности двух векторов следует, что один из них линейно выражается через другой, т.е. найдется такое число , что . Из равенства векторов и следует равенство их координат:

Ч.т.д.

Обратно, пусть точка . Тогда и по теореме о коллинеарности векторов ни один из них не может быть линейно выражен через другой, т.е. и хотя бы одно из равенств (7) не выполняется. Таким образом, уравнениям (7) удовлетворяюткоординаты только тех точек, которые лежат на прямой L и только они, ч.т.д.

Теорема доказана.

Нормальное уравнение плоскости:

В векторной форме уравнение плоскости имеет вид

Если нормальный вектор плоскости – единичный,

тогда уравнение плоскости можно записать в виде

(нормальное уравнение плоскости ).

– расстояние от начала координат до плоскости, , , – направляющие косинусы нормали

где – углы между нормалью плоскости и осями координат соответственно.

Общее уравнение плоскости (8) может быть приведено к нормальному виду умножением на нормирующий множитель , знак перед дробью противоположен знаку свободного члена в (8).

Расстояние от точки до плоскости (8) находится по формуле, полученной подстановкой точки в нормальное уравнение

Общее уравнение плоскости, исследование общего уравнения плоскости:

Если в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz , то уравнением плоскости в этой системе координат трехмерного пространства называют такое уравнение с тремя неизвестными x , y и z , которому удовлетворяют координаты всех точек плоскости и не удовлетворяют координаты никаких других точек. Иными словами, при подстановке координат некоторой точки плоскости в уравнение этой плоскости мы получим тождество, а при подстановке в уравнение плоскости координат какой-либо другой точки получится неверное равенство.

Прежде чем записать общее уравнение плоскости, напомним определение прямой перпендикулярной к плоскости: прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Из этого определения следует, что любой нормальный вектор плоскости перпендикулярен любому ненулевому вектору, лежащему в этой плоскости. Этот факт мы используем при доказательстве следующей теоремы, которая задает вид общего уравнения плоскости.

Теорема.

Всякое уравнение вида , где A , B , C и D – некоторые действительные числа, причем А , В и C одновременно не равны нулю, определяет плоскость в заданной прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, и всякая плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве определяется уравнением вида при некотором наборе чисел A , B , C и D .

Доказательство.

Как видите, теорема состоит из двух частей. В первой части нам дано уравнение и нужно доказать, что оно определяет плоскость. Во второй части, нам дана некоторая плоскость и требуется доказать, что ее можно определить уравнением при некотором выборе чисел А , В , С и D .

Начнем с доказательства первой части теоремы.

Так как числа А , В и С одновременно не равны нулю, то существует точка , координаты которой удовлетворяют уравнению , то есть, справедливо равенство . Отнимем левую и правую части полученного равенства соответственно от левой и правой частей уравнения , при этом получим уравнение вида эквивалентное исходному уравнению . Теперь, если мы докажем, что уравнение определяет плоскость, то этим будет доказано, что эквивалентное ему уравнение также определяет плоскость в заданной прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.

Равенство представляет собой необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов и . Иными словами, координаты плавающей точки удовлетворяют уравнению тогда и только тогда, когда перпендикулярны векторы и . Тогда, учитывая факт, приведенный перед теоремой, мы можем утверждать, что если справедливо равенство , то множество точек определяет плоскость, нормальным вектором которой является , причем эта плоскость проходит через точку . Другими словами, уравнение определяет в прямоугольной системе координатOxyz в трехмерном пространстве указанную выше плоскость. Следовательно, эквивалентное уравнение определяет эту же плоскость. Первая часть теоремы доказана.

Приступим к доказательству второй части.

Пусть нам дана плоскость, проходящая через точку , нормальным вектором которой является . Докажем, что в прямоугольной системе координат Oxyz ее задает уравнение вида .

Для этого, возьмем произвольную точку этой плоскости. Пусть этой точкой будет . Тогда векторы и будут перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение будет равно нулю: . Приняв , уравнение примет вид . Это уравнение и задает нашу плоскость. Итак, теорема полностью доказана. (при определенных значениях чисел А , В , С и D ), а этому уравнению соответствует указанная плоскость в заданной прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.

Приведем пример, иллюстрирующий последнюю фразу.

Посмотрите на рисунок с изображением плоскости в трехмерном пространстве в фиксированной прямоугольной системе координат Oxyz . Этой плоскости соответствует уравнение , так как ему удовлетворяют координаты любой точки плоскости. С другой стороны, уравнение определяет в заданной системе координат Oxyz множество точек, образом которого является изображенная на рисунке плоскость.

Уравнение плоскости в отрезках:

Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz .

В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве уравнение вида , где a , b и c – отличные от нуля действительные числа, называется уравнением плоскости в отрезках . Такое название не случайно. Абсолютные величины чисел a , b и c равны длинам отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях Ox , Oy и Oz соответственно, считая от начала координат. Знак чисел a , b и c показывает, в каком направлении (положительном или отрицательном) откладываются отрезки на координатных осях. Действительно, координаты точек удовлетворяют уравнению плоскости в отрезках:

Посмотрите на рисунок, поясняющий этот момент.

Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору: Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная декартова система координат. Сформулируем следующую задачу:

Составить уравнение плоскости, проходящей через данную точку
M (x 0 , y 0 , z 0) перпендикулярно данному вектору →n = {A , B , C } .

Решение. Пусть P (x , y , z ) - произвольная точка пространства. Точка P принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда вектор
MP = {x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 } ортогонален вектору →n = {A , B , C } (рис.1).

Написав условие ортогональности этих векторов (→n , MP ) = 0 в координатной форме, получим.

40. Основные понятия стереометрии.

Основными геометрическими фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. На рисунке 116 изображены различные фигуры в

пространстве. Объединение нескольких геометрических фигур в пространстве есть тоже геометрическая фигура, на рисунке 117 фигура состоит из двух тетраэдров.

Плоскости обозначаются строчными греческими буквами:

На рисунке 118 изображены плоскость а, прямые а и и точки А, В и С. Про точку А и прямую а говорят, что они лежат в плоскости а или принадлежат ей. Про точки В и С и прямую 6, что они не лежат в плоскости а или не принадлежат ей.

Введение основной геометрической фигуры - плоскости заставляет расширить систему аксиом. Перечислим аксиомы, которые выражают основные свойства плоскостей в пространстве. Эти аксиомы обозначены в пособии буквой С.

Си Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

На рисунке 118 точка А принадлежит плоскости а, а точки В и С не принадлежат ей.

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

На рисунке 119 две различные плоскости а и Р имеют общую точку А, а значит, по аксиоме существует прямая, принадлежащая каждой из этих плоскостей. При этом если какая-либо точка принадлежит обеим плоскостям, то она принадлежит прямой а. Плоскости а и в этом случае называются пересекающимися по прямой а.

Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

На рисунке 120 изображены две различные прямые а и имеющие общую точку О, а значит, по аксиоме существует плоскость а, содержащая прямые а и При этом по той же аксиоме плоскость а единственная.

Эти три аксиомы дополняют рассмотренные в главе I аксиомы планиметрии. Все они вместе являются системой аксиом геометрии.

Пользуясь этими аксиомами, можно доказать несколько первых теорем стереометрии.

Т.2.1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Т.2.2. Если две точкй прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Т.2.3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Пример 1. Дана плоскость а. Доказать, что существует прямая, не лежащая в плоскости а и пересекающая ее.

Решение. Возьмем в плоскости а точку А, что можно сделать по аксиоме Си По той же аксиоме существует точка В, которая плоскости а не принадлежит. Через точки А и В можно провести прямую (аксиома ). Прямая не лежит в плоскости а и пересекает ее (в точке А).